针对您提出的“用人单位提出解除劳动合同，劳动者存在法定过错时，谁支付违约金”的问题，这实际上涉及的是劳动合同解除时的责任归属及经济补偿（或赔偿）问题，而非传统意义上的“违约金”支付（通常违约金条款在劳动合同中较为少见，且多受法律严格限制）。以下是对此问题的详细解答：

一、核心原则

在劳动合同解除的情境中，若用人单位提出解除合同，且解除的原因是劳动者存在法定过错（如严重违反用人单位规章制度、严重失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等），则通常不需要用人单位向劳动者支付经济补偿金，反而可能是劳动者需要向用人单位承担因其过错造成的损失赔偿责任（但这不是“违约金”，而是基于过错责任的赔偿）。

二、详细分析

1. 劳动者法定过错情形：

   • 劳动者严重违反用人单位的规章制度；
   • 劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
   • 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正；
   • 劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同；
   • 劳动者被依法追究刑事责任。

2. 用人单位解除合同的权利：

   • 在上述法定过错情形下，用人单位有权单方面解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。

3. 劳动者的赔偿责任：

   • 若劳动者的过错行为给用人单位造成了实际损失，用人单位有权要求劳动者承担赔偿责任。这种赔偿责任是基于过错原则，与“违约金”不同，它要求劳动者赔偿因其过错行为给用人单位造成的实际损失。

4. 经济补偿金的支付情形：

   • 经济补偿金通常是在用人单位提出解除劳动合同，且解除原因非劳动者过错（如用人单位裁员、劳动合同到期不续签等）时支付给劳动者的。

三、特殊情况说明

• 违约金条款：在劳动合同中，违约金条款通常受到法律的严格限制。一般来说，只有在劳动者违反服务期约定或竞业限制约定时，用人单位才能与劳动者约定由劳动者承担违约金。在其他情况下，约定违约金可能是无效的。

• 赔偿与补偿的区别：赔偿是基于过错责任，要求过错方赔偿因其过错行为给对方造成的实际损失；而补偿则通常是无过错的，是基于公平原则或法律规定，对一方因某种原因（如合同解除）而遭受的损失进行的一种经济上的弥补。

四、总结与建议

• 在用人单位提出解除劳动合同，且解除原因是劳动者存在法定过错时，用人单位无需支付经济补偿金，反而可能是劳动者需要承担因其过错造成的损失赔偿责任。
• 若您作为劳动者或用人单位，在面临此类情况时，建议首先查阅劳动合同及相关法律法规，明确双方的权利和义务。
• 如存在争议或无法协商解决，建议及时咨询专业律师或劳动争议调解仲裁机构，以维护自身合法权益。