结论：因公司不签订劳动合同而离职的劳动者，在满足一定条件下，离职后有权申请双倍工资赔偿，并可能获得经济补偿金。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条规定：

1. 未签书面合同：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
2. 未签无固定期限合同：用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。

二、适用条件

1. 时间范围：

   • 劳动者在用人单位工作时间需超过一个月但不满一年。若工作时间未超过一个月，用人单位在此期限内与劳动者签订劳动合同属于合法行为，不支持双倍工资赔偿。
   • 双倍工资的计算周期为用工满一个月的次日至实际签订合同前一日，或用工满一年之日（若仍未签订合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，此时不再计算双倍工资，但可能涉及经济补偿金），最长不超过十一个月。

2. 劳动关系存在：劳动者需提供能证明与用人单位存在劳动关系的相关证据，如工资支付凭证（工资条、银行流水）、工作证、考勤记录、同事证言、工作安排文件、微信或邮件中涉及工作内容和劳动关系的记录等。

3. 工资发放主体：即便工资不是由法人直接发放，只要能够证明工资是由用人单位支付（如通过用人单位的银行账户、第三方支付平台等），且劳动者与用人单位之间存在事实劳动关系，就不影响双倍工资赔偿的申请。

三、计算方式

双倍工资差额的计算基数通常为劳动者当月应得工资，但不包括支付周期超过一个月的劳动报酬（如季度奖、半年奖、年终奖等）和未确定支付周期的劳动报酬（如一次性的奖金、特殊情况下支付的津贴、补贴等）。具体计算公式为：

\(双倍工资差额 = 未签合同期间的实际月工资 \times 月数\)

例如，某员工月薪5000元，工作8个月未签合同，可主张差额为 \(5000元/月 \times 7个月 = 35,000元\)（首月不计算）。

四、申请流程与注意事项

1. 确定申请时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从劳动者知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

2. 准备申请材料：通常需要提交仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明材料、用人单位的工商登记信息等。

3. 向仲裁机构申请：向有管辖权的劳动争议仲裁委员会提出书面申请。仲裁委员会一般会在受理仲裁申请之日起四十五日内作出裁决，案情复杂需要延期的，延长期限不得超过十五日。

4. 特殊情况处理：

   • 若公司提出补签劳动合同而劳动者拒绝，是否支付双倍工资需综合多方面因素判断，如补签的时间、方式等是否合理。
   • 若劳动者因用人单位未签订劳动合同等违法行为而被迫辞职，用人单位还需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿金。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

五、建议

劳动者在维护自身权益时，应充分了解并遵守相关法律法规和程序。在申请双倍工资赔偿前，务必确保自己符合法定条件，并准备好充分的证据材料。对于用人单位的补签提议，应谨慎考虑并咨询专业法律意见。在必要时，可寻求法律援助以确保自己的合法权益得到有效保护。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。