针对您在私营企业上班三年未签用工合同且未交保险，被辞退后如何维护自身权益的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、确认劳动关系
事实依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使未签订劳动合同，只要存在实际用工行为，如工资支付记录、考勤记录、工作证等，即可认定劳动关系成立。
行动建议：
- 收集能证明劳动关系的证据，包括但不限于工资支付凭证（如银行流水）、工作证/服务证、考勤记录、同事证言、工作邮件/聊天记录等。
- 若证据不足，您可以通过劳动仲裁机构或法院进行调查取证，以确认劳动关系的存在。
二、主张双倍工资差额
法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未签订书面合同的，应每月支付二倍工资。这一权利有时效限制，您需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出。
计算方式：
- 可主张月份：从入职后的第2个月至第12个月，共11个月。
- 金额标准：按您实际发放的工资计算，包括基本工资、奖金、津贴等。
- 时效问题：若您入职已满两年且未主张双倍工资差额，可能因超过仲裁时效而丧失胜诉权，因此请尽快行动。
三、要求违法解除赔偿金
法律依据：根据《劳动合同法》第四十八条，用人单位违法解除劳动合同的，应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
计算方式：
- 经济补偿金：按您每满一年支付一个月工资的标准计算，工作三年即为三个月工资。
- 赔偿金总额：经济补偿金的两倍，即六个月工资。
四、申请劳动仲裁
流程说明：
- 提交申请：向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会递交仲裁申请材料。
- 举证责任：您需提供基础证据证明劳动关系及用人单位的违法行为，用人单位则需证明已签订合同或合法解除事由。
- 裁决结果：若仲裁委员会支持您的诉求，用人单位需限期支付款项；若不服裁决，用人单位可在15日内向法院起诉。
五、后续执行与救济
执行措施：
- 若用人单位逾期不履行仲裁裁决，您可向法院申请强制执行。
- 若您对仲裁结果有异议，可通过诉讼途径进一步维权。
注意事项
- 时效风险：双倍工资差额的主张受一年仲裁时效限制，请务必及时行动，以免丧失胜诉权。
- 证据留存：请完整保存所有能证明劳动关系的材料，避免证据灭失影响维权。
- 法律咨询：对于复杂案件，建议您委托专业律师代理，以提高维权成功率。
综上所述，您可以通过确认劳动关系、主张双倍工资差额、要求违法解除赔偿金、申请劳动仲裁以及后续执行与救济等步骤来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。