结论：私人老板店里上班一个月不签合同，这种行为是不合法的。
法律背景与解释：
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。这是法律对用人单位的明确要求，旨在保护劳动者的合法权益，明确双方的权利和义务。
不签合同的法律后果：
双倍工资赔偿：如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果你在私人老板店里工作了一个月但未签合同，从第二个月开始，老板理论上需要支付你双倍的工资（但实际操作中，可能需通过劳动仲裁等途径来主张这一权利）。
劳动关系确认：未签合同并不影响劳动关系的成立。只要存在事实上的劳动关系（如你实际提供了劳动，老板接受了劳动成果并支付了报酬），你就可以依法主张自己的劳动权益。
维权难度增加：虽然未签合同不影响劳动关系的成立，但在发生劳动争议时，没有书面合同作为证据，可能会增加你的维权难度。因此，建议尽可能与用人单位签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
建议与行动：
与老板沟通：首先，你可以尝试与老板沟通，明确提出签订书面劳动合同的要求。这既是你的合法权益，也是对双方关系的正式确认。
收集证据：如果老板拒绝签订合同或拖延不签，你应开始收集能够证明你与老板之间存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、工作记录、同事证言等。
寻求法律援助：如果老板仍然拒绝签订合同或存在其他违法行为（如拖欠工资、不支付加班费等），你可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
特殊情况说明：
如果老板是个体工商户或个人独资企业主，且你与其之间形成的是雇佣关系而非劳动关系（这通常取决于具体的工作性质、管理方式等因素），则可能不适用《劳动合同法》的相关规定。但即便如此，从保护自身权益的角度出发，签订书面协议仍然是非常必要的。
如果你与老板之间存在的是劳务关系（如临时工、兼职等），则可能不适用《劳动合同法》中关于签订书面劳动合同的规定。但同样地，为了明确双方的权利和义务，建议签订书面劳务协议。
总之，无论在哪种情况下，签订书面协议都是保护自身权益的重要手段。如果你在私人老板店里工作一个月但未签合同，建议尽快与老板沟通并签订书面协议；如果老板拒绝或拖延不签，则应考虑采取法律措施来维护自己的合法权益。