结论：无固定期限员工泄露公司机密，公司若能证明其存在严重违反公司规章制度或严重失职、营私舞弊等行为，且该行为给公司造成了重大损害，那么公司开除该员工通常不需要支付赔偿金。但具体是否需要赔偿，还需根据实际情况和证据来判断。
分析说明：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：…（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；…（六）被依法追究刑事责任的。此外，如果员工泄露公司机密的行为违反了公司的规章制度，且该规章制度已经过民主程序制定并公示，公司也可以依据规章制度解除劳动合同。
无固定期限劳动合同的特殊性：
- 无固定期限劳动合同并不意味着员工拥有“铁饭碗”。只要员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊等行为，且给公司造成了重大损害，公司同样有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿金或赔偿金。
泄露公司机密的后果：
- 泄露公司机密可能构成对公司商业秘密的侵犯，如果情节严重，还可能构成犯罪（如侵犯商业秘密罪）。在这种情况下，公司不仅可以解除劳动合同，还可以追究员工的法律责任。
公司需承担的举证责任：
- 公司要开除泄露机密的员工并避免支付赔偿金，必须承担举证责任，证明员工确实存在泄露机密的行为，且该行为给公司造成了重大损害。这通常需要公司提供相关证据，如监控录像、聊天记录、邮件往来等。
法律建议：
对于公司：
- 一旦发现员工泄露公司机密，应立即收集证据，包括但不限于监控录像、聊天记录、邮件往来等，以证明员工的行为。
- 审查公司的规章制度，确保其中明确规定了泄露公司机密属于严重违反规章制度的行为，并规定了相应的处罚措施。
- 如果证据充分，且规章制度有明确规定，公司可以依法解除劳动合同，并无需支付赔偿金。
对于员工：
- 如果被公司指控泄露机密，应积极配合公司的调查，同时也可以寻求法律援助，以维护自己的合法权益。
- 如果认为公司的指控不成立或处罚过重，可以通过劳动仲裁或诉讼等途径来维护自己的权益。
后续行动建议：
- 如果您是公司方，建议尽快咨询专业律师，制定详细的应对策略，并收集相关证据以支持您的主张。
- 如果您是员工方，且认为公司的指控不成立或处罚过重，也建议尽快咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的救济途径。
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