结论：能否向劳务公司索赔，取决于多个因素，包括劳务公司的过错程度、是否违反相关法律规定以及双方之间的合同约定等。以下从不同角度进行分析：
一、劳务公司的过错与责任
若劳务公司存在过错：
- 如果劳务公司在派遣过程中存在过错，比如未按照法律规定为劳务人员办理合法的工作签证、未提供必要的安全保障措施、未告知劳务人员工作风险等，导致劳务人员成为“黑工”并因此染上病毒，那么劳务公司应当承担相应的赔偿责任。
- 赔偿范围可能包括医疗费用、误工费、护理费、交通费等因治疗和康复所支出的合理费用，以及因务工收入减少造成的损失等。
若劳务公司无过错：
- 如果劳务公司已经尽到了合理的注意义务，比如为劳务人员办理了合法的工作签证、提供了必要的安全保障措施、告知了工作风险等，但劳务人员仍然私自违反规定成为“黑工”并染上病毒，那么劳务公司可能不承担赔偿责任。
二、相关法律规定
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，劳务派遣单位应当履行对被派遣劳动者的用人单位义务，包括提供劳动保护、劳动条件和职业病防护等。如果劳务派遣单位未履行这些义务，导致被派遣劳动者受到损害的，应当承担赔偿责任。
- 同时，如果劳务派遣单位与用工单位在劳务派遣协议中约定了损害赔偿责任的承担方式，那么应当按照协议约定来处理。但协议内容不得违反法律法规的强制性规定，否则无效。
三、合同约定与实际情况
- 双方之间的劳务派遣合同是确定各自权利和义务的重要依据。如果合同中明确约定了劳务派遣单位在特定情况下的赔偿责任，那么应当按照合同约定来处理。
- 但需要注意的是，合同约定不得违反法律法规的强制性规定。如果合同中的某些条款与法律法规相抵触，那么这些条款是无效的，不影响其他条款的效力。
四、实际操作建议
收集证据：
- 劳务人员应当收集与劳务派遣单位之间的合同、工作签证、安全保障措施等相关证据，以证明劳务派遣单位是否存在过错。
- 同时，收集医疗费用发票、诊断证明、误工证明等证据，以证明自己的损失情况。
协商与调解：
- 在证据充分的情况下，劳务人员可以与劳务派遣单位进行协商，要求其承担相应的赔偿责任。
- 如果协商不成，可以向当地的劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
法律诉讼：
- 如果调解和仲裁都无法解决问题，劳务人员可以向人民法院提起诉讼，要求劳务派遣单位承担赔偿责任。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此在实际操作中需要根据具体情况来分析和处理。如果你面临这样的情况，建议直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。