结论：在超市买到发霉的奶茶产品，您既可以向厂家索赔，也可以向超市索赔，甚至可以同时向两者主张权利，具体取决于实际情况和您的诉求。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系分析
与厂家的法律关系：
- 根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，生产者应当对其生产的产品质量负责。如果奶茶发霉是由于厂家生产过程中的问题导致的，比如原料不新鲜、生产环境不卫生等，那么厂家应当承担产品质量责任。
- 您作为消费者，因使用发霉的奶茶产品而遭受损害（如身体不适、财产损失等），有权向厂家要求赔偿。
与超市的法律关系：
- 超市作为销售者，有义务确保所售商品的质量符合安全标准。如果超市销售了发霉的奶茶产品，说明其未尽到合理的审查义务，应当承担相应的法律责任。
- 您同样有权基于与超市之间的买卖合同关系，要求超市承担违约责任或侵权责任（如果因使用发霉产品导致损害）。
二、索赔途径与策略
单独向厂家索赔：
- 如果您认为发霉问题主要是由于厂家生产过程中的问题导致的，且能够证明这一点（如通过检测报告等），那么您可以直接向厂家提出索赔要求。
- 索赔内容可以包括：退货退款、赔偿因使用发霉产品导致的直接损失（如医疗费用、误工费等）以及可能的惩罚性赔偿（如果厂家存在故意或重大过失）。
单独向超市索赔：
- 如果您认为超市在销售过程中存在过错（如未尽到审查义务、未及时下架问题产品等），那么您可以选择向超市提出索赔要求。
- 索赔内容同样可以包括：退货退款、赔偿直接损失等。超市在承担赔偿责任后，如果认为问题出在厂家，可以向厂家追偿。
同时向厂家和超市索赔：
- 在某些情况下，您可能认为厂家和超市都存在过错，或者难以确定具体是谁的责任更大。这时，您可以选择同时向两者提出索赔要求。
- 需要注意的是，如果厂家和超市之间存在明确的责任划分（如通过合同约定），那么您可能需要根据具体情况来分配索赔比例。但在实践中，这往往比较复杂，可能需要通过法律途径来解决。
三、实际操作建议
保留证据：
- 无论您选择向谁索赔，都需要保留好相关证据，如购物小票、发霉产品的照片或视频、医疗证明等。这些证据将有助于您证明自己的诉求是合理的。
协商与调解：
- 在提出索赔要求前，您可以先尝试与厂家或超市进行协商或调解。这往往能够更快地解决问题，并避免不必要的法律纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果协商或调解无果，或者您认为自己的权益受到了严重侵害，那么您可以寻求法律帮助。作为专业律师，我可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您维护自己的合法权益。
最后，我想强调的是，在处理此类纠纷时，保持冷静和理性是非常重要的。不要因为情绪激动而做出过激的行为或言论，这可能会对您自己的权益造成不利影响。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。