结论前置：

1. 若员工工作一年五个月未签合同，单位需支付十一个月的双倍工资作为赔偿（从用工满一个月的次日起算，至满一年前一日，共十一个月）。
2. 若员工因此提出离职，单位还需额外支付经济补偿金（通常为一个月工资，具体根据工作年限和实际情况确定）。

详细分析：

一、赔偿期间的确定

• 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
• 在您的情况下，员工已经工作了一年五个月，因此，赔偿期间应从用工满一个月的次日起算，至满一年前一日结束，共计十一个月。

二、赔偿金额的计算

• 赔偿金额为员工在这十一个月内应得工资的两倍，减去已经支付的部分。
• 计算公式：\(赔偿金额 = 月工资 \times 11个月\)（假设这十一个月内月工资相同，若不同则需分别计算后相加）。
• 举例：假设员工每月工资为5000元，则赔偿金额为\(5000元/月 \times 11个月 = 55000元\)。

三、经济补偿金的支付

• 若员工因单位未签订劳动合同而提出离职，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，单位除支付双倍工资外，还需支付经济补偿金。
• 经济补偿金的具体数额通常根据员工的工作年限和月工资来确定。在您的情况下，员工工作了一年五个月，因此经济补偿金通常为一个月工资（具体可能因地区和实际情况有所不同）。

四、法律依据

• 《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
• 《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第六条、第七条：进一步明确了双倍工资的支付期间和计算方式。

五、行动建议：

1. 收集证据：员工应保留能证明劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、与单位的沟通记录等，以便在维权时使用。
2. 与单位沟通：员工可以先尝试与单位沟通，要求签订劳动合同并支付双倍工资赔偿和经济补偿金。
3. 法律途径：若沟通无果，员工可以向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，通过法律途径维护自己的合法权益。

六、注意事项：

• 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，员工应及时采取行动，以免错过维权时机。
• 在处理此类纠纷时，建议员工保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免对自身造成不利影响。

作为韦海团律师，我建议您在处理此类劳动工伤问题时，务必保留好相关证据，并及时咨询专业法律意见。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。