当行政复议机关逾期不作出决定时，作为申请人，您有权采取一系列措施来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的应对流程和建议：
一、了解行政复议期限
首先，您需要明确行政复议机关作出决定的法定时限。根据《中华人民共和国行政复议法》的规定，行政复议机关一般应在受理申请之日起六十日内作出行政复议决定（法律规定的行政复议期限少于六十日的除外）。若情况复杂，需要延长的，最多可延长三十日。
二、采取应对措施
等待并密切关注：
- 在行政复议期限内，您可以耐心等待，并密切关注复议进展。虽然这并非直接行动，但了解复议机关的工作流程有助于您更好地规划后续步骤。
催促了解进展：
- 接近规定期限时，您可以通过电话、书面等方式向行政复议机关询问进展，要求其说明情况。这有助于您及时了解复议机关是否已作出决定或是否存在延误。
向上级行政机关投诉：
- 若行政复议机关超过规定期限仍未作出决定，您有权向其上级行政机关反映情况。上级机关会责令该行政复议机关在一定期限内作出行政复议决定，从而促使问题得到解决。
提起行政诉讼：
- 诉讼条件：若行政复议机关在复议期满后仍未作出决定，您可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼，要求司法救济。但需注意，对于法律规定行政复议前置的案件，您仍需先经过行政复议程序，对复议结果不满才能提起诉讼。这类情况不能因复议机关逾期而直接起诉。
- 诉讼准备：在提起诉讼前，您需要准备好相关证据材料，如行政复议申请书、受理通知书、催促进展的记录等，以证明行政复议机关逾期未作出决定的事实。
- 诉讼过程：向人民法院提交起诉状后，法院将依法受理并审理案件。在诉讼过程中，您需要积极配合法院的工作，提供必要的证据和陈述，以维护自己的合法权益。
三、针对不履行复议决定的被申请人
若行政复议机关最终作出了决定，但被申请人不履行该决定，您可以采取以下措施：
- 向行政复议机关反映：要求其责令被申请人限期履行复议决定。
- 申请人民法院强制执行：若责令后被申请人仍不履行，您可以申请人民法院强制执行，以确保复议决定得到有效执行。
四、注意事项
- 保持沟通：在整个过程中，与行政复议机关和被申请人保持沟通是非常重要的。这有助于您及时了解进展情况，并可能促使问题得到更快解决。
- 保留证据：确保您保留所有与行政复议和诉讼相关的证据材料，以备不时之需。
- 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助。他们可以提供专业的法律意见和指导，帮助您更好地维护自己的合法权益。
综上所述，当行政复议机关逾期不作出决定时，您有权通过向上级行政机关投诉或提起行政诉讼等方式来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。