当面临行政复议机关逾期不作答复的情况时，申请人确实有多种法律途径可以维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的救济措施：
一、等待法定期限届满
首先，需要明确的是，行政复议机关通常应在受理申请之日起六十日内作出行政复议决定。这是法律规定的合理审查时间。在特殊情况下，如案件复杂，不能在规定期限内作出决定的，经行政复议机关的负责人批准，可以适当延长，但延长期限最多不超过三十日。因此，在法定期限内，申请人应耐心等待复议机关的决定。
二、书面催促
若接近或超过法定答复期限仍未收到回复，申请人可以采取书面催促的方式。具体做法是，向行政复议机关发送催促函，提醒其履行法定职责，尽快作出复议决定。在催促函中，应明确指出复议机关逾期不决的行为可能违反《行政复议法》的相关规定，并保留好发送催促函的凭证，如邮政快递底单等，以备后续可能的法律程序之需。
三、向其上级机关反映
如果行政复议机关在法定期间内仍未作出复议决定，申请人可以向其上级行政机关反映情况。上级机关对下级机关具有监督职责，有权责令复议机关限期作出复议决定。在反映情况时，申请人应详细说明案件的基本情况、复议申请的时间、复议机关逾期的时长以及对自己造成的影响等，以便上级机关能够全面了解问题的严重性，并采取相应的监督措施。
四、提起行政诉讼
若上述措施均未能促使行政复议机关作出决定，申请人可以在规定期限内向人民法院提起行政诉讼。这是更为权威的救济途径，法院将对行政行为的合法性进行全面审查。在提起行政诉讼时，申请人需要注意以下几点：
确定诉讼主体：明确原告和被告。原告是认为自己的合法权益受到行政行为侵害的公民、法人或其他组织；被告则是作出具体行政行为的行政机关，如果是对复议机关逾期不决的行为提起诉讼，复议机关也可能成为被告。
收集证据：证据是行政诉讼的关键。申请人需要收集能够证明行政行为违法或不合理的证据，以及复议机关逾期不决的证据，如行政机关作出的处罚决定书、复议申请书的送达凭证、与复议机关的沟通记录等。
选择管辖法院：行政诉讼一般由最初作出行政行为的行政机关所在地人民法院管辖。经复议的案件，也可以由复议机关所在地人民法院管辖。申请人可以根据具体情况选择合适的管辖法院。
撰写起诉状：起诉状应包括原告的基本情况、被告的名称、诉讼请求、事实和理由、证据和证据来源等。诉讼请求要明确具体，例如请求撤销行政行为、确认行政行为违法、责令行政机关履行法定职责等。
综上所述，面对行政复议机关逾期不作答复的情况，申请人可以通过等待法定期限届满、书面催促、向上级机关反映以及提起行政诉讼等多种途径来维护自己的合法权益。每种途径都有其特定的适用条件和程序要求，申请人应根据实际情况选择最合适的解决方式。