当面对复议机关逾期不作出复议决定的情况时，申请人可以采取以下措施来维护自己的合法权益，这些措施基于《中华人民共和国行政复议法》及相关司法实践：
一、申请人的直接救济措施
催促与监督：
- 首先，申请人应了解行政复议机关的一般处理期限，即受理申请后的60日内（法律规定少于60日的按其规定；情况复杂需延长的，最多延长30日）。在此期间，申请人可以密切关注复议进展，并通过电话、书面等方式向行政复议机关询问进展，要求其说明情况。
向上级行政机关投诉：
- 若行政复议机关超过规定期限仍未作出决定，申请人有权向其上级行政机关反映情况。上级机关在接到投诉后，会责令该行政复议机关在一定期限内作出行政复议决定，这是对复议机关的一种监督机制。
提起行政诉讼：
- 申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼，这是寻求司法救济的重要途径。但需要注意的是，对于法律规定行政复议前置的案件，申请人仍需先经过行政复议程序，对复议结果不满才能提起诉讼。若因复议机关逾期而直接起诉，可能不符合法定程序。
二、针对复议决定执行阶段的救济
- 若复议机关最终作出了决定，但被申请人不履行该决定，申请人可以向行政复议机关反映，要求其责令被申请人限期履行。若责令后被申请人仍不履行，申请人可以申请人民法院强制执行，以确保复议决定的效力得到实现。
三、行政复议流程与被申请人法律后果的简要说明
行政复议流程：
- 行政复议流程包括申请提出、受理与审查、决定作出等阶段。申请人可以书面或口头申请行政复议，行政复议机关在收到申请后会进行审查，并在规定时间内作出是否受理的决定。一旦受理，行政复议机关一般需要在受理申请之日起六十日内作出行政复议决定。
被申请人的法律后果：
- 若被申请人未按规定进行行政复议程序，如未在规定时间内移送卷宗、有关证据材料及书面答复，且无正当理由，受理申请复议的机关可能会视为无证据，将案件撤销，由此产生的一切法律后果由被申请人承担。此外，若被申请人不履行法定职责，复议机关会要求其履行，并可能对其进行相应处理。
四、关键提示
- 了解时效要求：申请人在采取救济措施时，应注意法定的时效要求，避免因超过时效而丧失权利。
- 准备充分证据：在申请投诉或提起诉讼时，申请人应准备充分的证据材料，以支持自己的主张。
- 寻求专业法律支持：由于行政复议和行政诉讼涉及复杂的法律程序和专业知识，建议申请人委托律师协助准备材料并参与诉讼，以提升维权成功率。
综上所述，当面对复议机关逾期不作出复议决定的情况时，申请人应充分了解自身权利并采取相应措施维护合法权益。同时，被申请人也应严格遵守法律规定，避免承担不必要的法律后果。