若行政复议机关不作出答复，申请人可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
确认是否已超期：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》第三十一条的规定，行政复议机关应当自受理申请之日起六十日内作出行政复议决定。情况复杂，不能在规定期限内作出决定的，经行政复议机关的负责人批准，可以适当延长，但延长期限最多不超过三十日。因此，若超过上述期限仍未收到答复，即构成“逾期未作出决定”的情形。申请人应仔细核对提交复议申请的日期及行政机关的受理时间，计算是否已超过法定60日（或延长后的90日）期限。
主动联系行政复议机关：
- 在确认已超期后，申请人可以通过书面函件或电话向复议机关询问案件进展，要求说明延迟原因并催促尽快处理。这一步骤有助于了解复议机关未作出答复的具体原因，并为后续行动提供依据。
向上级机关或监察部门反映：
- 若联系后仍未解决，申请人可以向复议机关的上级主管部门或同级监察机关提交书面材料，请求督促办理。上级机关或监察部门有权对下级机关的行政行为进行监督，并可以责令该复议机关限期作出复议决定。
提起行政诉讼：
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条的规定，复议机关逾期不作决定的，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。法律另有规定的除外。
- 操作建议：
- 准备起诉状及相关证据材料，包括复议申请书、受理通知书、催促函等，以证明复议机关未在法定期限内作出答复；
- 向有管辖权的法院立案庭递交材料，法院将审查是否符合起诉条件，符合则予以登记立案；
- 在诉讼过程中，申请人可以要求法院判决复议机关履行法定职责，即作出行政复议决定。
区分不同情况下的诉讼对象：
- 若复议机关逾期未作任何处理（既未受理也未驳回），申请人可直接起诉原行政行为机关；
- 若复议机关已受理但未在法定期限内作出决定，申请人可将复议机关列为共同被告。
在采取上述措施时，申请人还需注意以下几点：
- 保留好相关证据：包括复议申请书、受理通知书、催促函、邮寄回执、签收记录等，以证明自己已依法申请复议且复议机关未在法定期限内作出答复。
- 及时行使权利：在法定期限内提起行政诉讼，避免因超过起诉期限而丧失胜诉权。
- 寻求专业帮助：若对法律程序不熟悉，可以向我咨询，我将根据具体情况提供针对性的法律意见和指导。
综上所述，面对行政复议机关不作出答复的情况，申请人应通过确认是否已超期、主动联系复议机关、向上级机关或监察部门反映以及提起行政诉讼等途径来维护自己的合法权益。在采取行动时，务必保留好相关证据并及时行使权利。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。