当行政机关不履行行政复议决定时，申请人可以通过以下途径来维护自己的合法权益：
向上级行政机关或有关部门反映情况
- 处理方式：如果复议机关在法定期限内未作出任何答复或者不履行复议决定，申请人可以向其上级行政机关或者有关监察、法制部门反映情况。这些部门有权对复议机关的失职行为进行调查和处理，例如可以责令复议机关限期履行，或者对相关责任人员进行约谈、通报批评等。
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》等相关法律法规，行政机关有义务依法履行行政复议职责，对于不履行职责的行为，上级机关和有关部门有权进行监督和纠正。
提起行政诉讼
- 处理方式：
- 直接起诉原行政行为：如果复议机关逾期不作决定或者不履行复议决定，且该复议决定涉及对原行政行为的审查，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼，请求法院对原行政行为进行审查并作出判决。
- 起诉复议机关不作为：在某些情况下，如果复议机关的不作为直接侵害了申请人的合法权益，申请人也可以选择以复议机关为被告，提起行政诉讼，要求其履行行政复议职责或承担相应法律责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条的规定，公民、法人或者其他组织不服复议决定的，可以在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼；复议机关逾期不作决定的，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
申请行政赔偿（如适用）
- 处理方式：如果因复议机关的不作为导致申请人的合法权益受到损害，例如因复议机关未及时履行复议决定而导致申请人遭受了经济损失，申请人还可以依据国家赔偿法的相关规定，向复议机关申请行政赔偿。
- 法律依据：《中华人民共和国国家赔偿法》规定，国家机关及其工作人员违法行使职权侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，受害人有取得国家赔偿的权利。
其他救济途径
- 寻求法律援助：在整个过程中，如果申请人对法律程序或相关法律规定不熟悉，可以寻求专业的法律援助，比如向我这样的专业律师咨询，以获取更具体的法律意见和帮助。
- 媒体曝光与舆论监督：在合法合规的前提下，申请人也可以通过媒体曝光等方式引起社会关注，促使相关部门尽快解决问题。但需注意避免侵犯他人合法权益或违反法律法规，确保舆论监督的合法性和正当性。
在处理此类问题时，申请人需要注意以下几点：
- 保留证据：申请人应妥善保管与行政复议决定相关的所有文件和证据，包括复议申请书、复议决定书、相关证明材料等，以备在后续的法律程序中使用。
- 及时行动：一旦发现行政机关不履行行政复议决定，申请人应及时采取行动，避免超过法定的诉讼时效或其他期限。
- 合法维权：在维护自己合法权益的过程中，申请人应遵守法律法规，不得采取非法手段或侵犯他人合法权益。
如果在实际操作中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。