在劳动仲裁过程中，如果遇到一方当事人（无论是申请人还是被申请人）“跑路”的情况，我们确实需要依据其具体身份和仲裁所处的阶段来采取相应的处理措施。以下是对这一问题的详细解答：
一、若申请人“跑路”
处理方式：
- 如果申请人经仲裁庭书面通知后，无正当理由拒不到庭，或者未经仲裁庭许可中途退庭，仲裁庭将按照撤回仲裁申请来处理。这意味着，仲裁程序将因此终结，不再继续进行。
后续申请：
- 如果申请人之后重新提出仲裁申请，并且该申请符合受理条件，仲裁委员会将会再次受理该申请，并重新启动仲裁程序。
二、若被申请人“跑路”
仲裁审理前：
- 确定送达地址：劳动仲裁机构会首先尝试按照申请人提供的被申请人信息来送达相关文书。如果无法直接送达，将会采用邮寄或公告送达的方式。公告期一般为60日，期满后即视为送达。
- 财产保全申请：为了防止被申请人转移财产，申请人可以在仲裁阶段向仲裁委员会提出财产保全申请。仲裁委员会会将该申请转交法院办理，申请人需要提供明确的财产线索以及可能的担保。
仲裁审理中：
- 缺席裁决：即使被申请人未到庭参加庭审，仲裁程序仍然会继续进行。仲裁庭将根据现有的证据、申请人的陈述以及举证情况来审理案件，并作出缺席裁决。因此，申请人应充分准备证据，以支持自己的裁决请求。
仲裁裁决后：
- 申请强制执行：如果被申请人未履行裁决义务，申请人可以在规定的时间内向法院申请强制执行。法院有权采取多种措施，如查询、冻结、划拨银行存款，查封、扣押、拍卖财产等，并可以将被申请人列入失信被执行人名单，限制其高消费、出入境等。
- 法律责任：如果被申请人逃避执行，情节严重可能构成拒不执行判决、裁定罪，将面临三年以下有期徒刑、拘役或罚金等法律制裁。
三、建议与注意事项
法律咨询：在整个劳动仲裁过程中，当事人应及时咨询专业律师，以获取准确的法律建议和指导。
证据保存：妥善保存所有与劳动仲裁相关的证据，如仲裁申请书、证据材料等。这些证据对于后续维权至关重要。
协商解决：如果可能的话，当事人可以尝试与对方当事人进行协商，通过调解等其他途径来解决纠纷。这可以减少时间和成本的投入，并有助于维护双方的关系。
综上所述，劳动仲裁中一方当事人“跑路”的情况需要根据其具体身份和仲裁所处的阶段来采取相应的处理措施。无论是申请人还是被申请人“跑路”，都有相应的法律程序和保障措施来维护当事人的合法权益。因此，当事人应积极配合仲裁机构和法院的工作，提供必要的信息和财产线索，以确保自身权益得到有效维护。