结论：到期终止的员工在一般情况下不能要求继续履行合同，但在特定情形下，如用人单位违法终止劳动合同，员工则有权要求继续履行。
分析说明：
合同到期终止的常规情况：
- 当劳动合同到期时，如果双方没有续签的意愿或没有就续签达成一致，劳动合同将自然终止。在这种情况下，员工通常不能要求继续履行原合同，因为合同已经因到期而失去了法律效力。
用人单位违法终止劳动合同的特殊情况：
- 如果用人单位在劳动合同到期时，没有合法依据（如员工存在严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任等情形）而单方面终止劳动合同，这可能构成违法终止。
- 在这种情况下，员工有权根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。如果员工选择要求继续履行合同，且该请求在仲裁或诉讼中被支持，用人单位将需要恢复与员工的劳动关系，并补发违法终止期间的工资等。
法律建议：
对于员工：
- 如果认为用人单位违法终止了劳动合同，首先应收集相关证据，如劳动合同、终止通知、工资单等，以证明自己的权益受到了侵害。
- 然后，可以与用人单位进行协商，尝试达成和解。如果协商无果，可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位继续履行合同或支付赔偿金。
- 如果对仲裁结果不满，还可以向人民法院提起诉讼。
对于用人单位：
- 在终止劳动合同时，应确保有合法依据，并遵循相关法律法规的规定。
- 如果与员工就终止合同存在争议，应积极与员工进行协商，寻求和解。如果协商不成，应准备好相关证据，以应对可能的仲裁或诉讼。
可能后果：
- 如果员工成功证明用人单位违法终止了劳动合同，并要求继续履行合同，用人单位可能需要恢复与员工的劳动关系，并补发违法终止期间的工资等。
- 如果用人单位无法证明终止合同的合法性，且员工不要求继续履行合同，而是要求支付赔偿金，用人单位可能需要支付相应的赔偿金。
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