结论：在您描述的情况下，如果与单位签订一年劳动合同后未续签但已连续工作满10年，且未出现劳动合同中断或特殊用工情况，您有权要求单位签订无固定期限劳动合同。
法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，劳动者在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一条款明确了在您所述情况下，劳动者享有签订无固定期限劳动合同的权利。
具体情况分析
连续工作满十年的认定：
- “连续工作满十年”指的是劳动者与同一用人单位签订的劳动合同期限不间断地达到十年。如果期间因非劳动者本人原因被安排到新用人单位工作，原用人单位的工作年限应合并计算为新用人单位的工作年限。
- 在您的情况下，如果自最初签订劳动合同起，您一直在该单位工作，且未出现因个人原因离职后又重新入职等中断情况，那么您已满足“连续工作满十年”的条件。
劳动合同的中断与特殊用工情况：
- 如果劳动者在用人单位的劳动合同存在中断情况，如因个人原因离职后又重新入职，是否能认定为“连续工作满十年”需根据具体情况判断。一般来说，如果中断时间较短且有合理原因，或双方有约定可以连续计算工作年限的，可以认定为连续工作；但中断时间较长且不符合连续计算条件的，则可能无法认定。
- 在您的情况下，如果未出现劳动合同中断或特殊用工情况（如非全日制用工、劳务派遣等），那么您应被视为已连续工作满十年。
无固定期限劳动合同的签订：
- 在您满足“连续工作满十年”的条件下，如果您提出或者同意续订、订立劳动合同，且未提出订立固定期限劳动合同，单位应当与您签订无固定期限劳动合同。
- 如果单位拒绝签订，您有权通过法律途径维护自己的合法权益，包括但不限于提起劳动仲裁或诉讼，要求单位履行法定义务。
法律建议与行动指南
与单位沟通：
- 首先，您可以尝试与单位进行沟通，明确表达您希望签订无固定期限劳动合同的意愿，并了解单位的态度和意见。
收集证据：
- 如果单位拒绝签订或未给予明确答复，您应开始收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明您已在该单位连续工作满十年。
寻求法律援助：
- 如果与单位沟通无果，您可以向我咨询具体的法律程序和策略，或者准备相关材料提起劳动仲裁或诉讼。
关注法律动态：
- 在处理此类纠纷时，您还应关注相关的法律动态和政策变化，以确保自己的权益得到充分保障。
可能的法律后果
如果单位违反法律规定不与您签订无固定期限劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，单位应自应当订立无固定期限劳动合同之日起向您每月支付二倍的工资作为赔偿。同时，您还可以向当地劳动监察部门投诉，要求单位纠正违法行为并签订无固定期限劳动合同。
总之，在您描述的情况下，您有权要求单位签订无固定期限劳动合同。如果单位拒绝签订或未给予明确答复，您应积极采取措施维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。