结论前置：

1. 员工不同意补签劳动合同，仍可申请劳动仲裁。员工有权要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资差额，并可就其他劳动权益受损事项一并主张。
2. 若公司以员工拒绝补签为由终止劳动关系，需支付经济补偿。公司不得以员工拒绝补签合同为由违法解除劳动关系，否则需承担赔偿责任。

详细分析：

一、员工不同意补签合同，不影响劳动仲裁权利

根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一权利不因员工是否同意补签合同而丧失。即使公司提出补签合同，员工仍有权拒绝并主张未签合同期间的双倍工资差额（即已发工资外的另一倍工资）。

操作建议：

• 收集证据：保留工资条、银行流水、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系存在的证据。
• 申请仲裁：在劳动关系终止后一年内，向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，明确请求公司支付双倍工资差额（如工作10个月，可主张9个月差额）。

二、公司若以员工拒绝补签为由终止劳动关系，需支付经济补偿

根据《劳动合同法实施条例》第六条，若劳动者拒绝补签书面劳动合同，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，并支付经济补偿。经济补偿标准为每工作满一年支付一个月工资，不满半年支付半个月工资。

示例计算：

• 若员工月工资为8000元，工作10个月后被公司以拒绝补签合同为由终止劳动关系，则公司需支付：
  • 经济补偿：8000元（1个月工资，因工作满6个月但不满1年）。
  • 双倍工资差额：8000元/月 × 9个月 = 72000元（已发工资外的差额）。

三、公司不得以补签合同为由规避双倍工资责任

即使公司事后与员工补签劳动合同，双倍工资差额的支付义务仍不受影响。补签合同仅能证明双方最终达成书面协议，但无法改变此前未签合同的事实。员工仍有权主张补签前的双倍工资差额。

四、若公司拒绝支付，员工可进一步维权

若劳动仲裁裁决支持员工请求，但公司拒不履行，员工可向人民法院申请强制执行。同时，若公司存在其他违法行为（如拖欠工资、未缴社保等），员工可一并主张权利。

法律风险提示：

• 仲裁时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从员工知道或应当知道权利被侵害之日起计算。建议尽快行动，避免超期。
• 证据保留：务必妥善保管与劳动关系相关的所有证据，尤其是证明未签合同期间的工资发放、工作内容等材料。
• 协商优先：在申请仲裁前，可尝试与公司协商解决，以降低维权成本。但若协商无果，应果断通过法律途径维护权益。

总结：员工不同意补签劳动合同，不影响其主张双倍工资差额的权利。若公司以此为由终止劳动关系，还需支付经济补偿。建议员工及时收集证据并申请劳动仲裁，以有效维护自身合法权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。