结论：对于工人操作机器切断三根手指的情况，我建议优先走法律程序，而非私了。以下是我从多个角度进行的分析和建议：
一、法律程序的优势
确保权益得到充分保障：
- 走法律程序可以确保工人的合法权益得到充分保障。根据《工伤保险条例》及相关法律法规，工人因工作原因受到事故伤害，有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。通过法律程序，可以确保这些待遇得到落实。
避免后续纠纷：
- 私了往往存在信息不对称和谈判地位不平等的问题，可能导致工人后续发现权益受损时难以维权。而法律程序则提供了明确的赔偿标准和程序，减少了后续纠纷的可能性。
促进企业规范管理：
- 走法律程序可以促使企业更加重视安全生产和劳动保护，加强安全管理措施，减少类似事故的发生。这有助于维护工人的生命安全和身体健康，同时也符合企业的长远利益。
二、私了的风险
赔偿金额可能不足：
- 私了时，企业可能出于成本考虑，提出较低的赔偿金额。而工人由于缺乏法律知识和谈判经验，可能难以争取到合理的赔偿。
缺乏法律保障：
- 私了协议往往缺乏法律效力，一旦企业反悔或拒绝履行协议，工人将难以维权。而法律程序则提供了强制执行的手段，确保赔偿得到落实。
可能掩盖企业责任：
- 私了可能掩盖企业在安全生产和劳动保护方面的责任，导致企业继续忽视这些问题，增加未来发生类似事故的风险。
三、具体建议
及时报告事故：
- 工人应立即向企业报告事故，并要求企业及时送医治疗。同时，工人或其家属应尽快向当地社会保险行政部门报告工伤事故，以便启动工伤保险程序。
申请工伤认定：
- 工人或其家属应在规定时间内向当地社会保险行政部门申请工伤认定。工伤认定是享受工伤保险待遇的前提条件。
进行劳动能力鉴定：
- 在工伤认定后，工人应进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级。伤残等级将直接影响赔偿金额和待遇标准。
协商或诉讼：
- 在工伤认定和劳动能力鉴定后，工人可以与企业协商赔偿事宜。如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
四、注意事项
- 保留证据：工人应保留好与事故相关的所有证据，如医疗记录、事故现场照片、证人证言等。这些证据将在后续的法律程序中发挥重要作用。
- 咨询专业律师：在处理工伤事故时，工人应咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。作为专注于劳动纠纷和工伤赔偿领域的律师，我可以为你提供专业的法律咨询和帮助。
总结：对于工人操作机器切断三根手指的情况，我建议优先走法律程序以确保权益得到充分保障。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。