结论：私立幼儿园未签合同的情况下，员工请假十天的工资计算及权益保障需分情况讨论，主要取决于双方是否构成事实劳动关系以及幼儿园的规章制度。以下从不同角度为您详细分析：
一、构成事实劳动关系的情况
工资计算原则：
- 即使未签订书面劳动合同，只要双方存在事实劳动关系，员工就享有劳动法规定的各项权益，包括获得劳动报酬的权利。
- 请假期间的工资计算，通常依据幼儿园的规章制度或双方约定。若无明确规定，可参照《工资支付暂行规定》中关于病假工资或事假工资的相关原则进行协商确定。
具体计算方式（以事假为例，假设无规章制度或约定）：
- 公式：事假期间应扣工资 = 月工资 / 21.75天（月计薪天数）× 请假天数
- 示例：若员工月工资为5000元，请假10天，则应扣工资为 5000 / 21.75 × 10 ≈ 2298.85元（实际发放工资为5000 - 2298.85 = 2701.15元）。
- 注意：此计算方式仅为示例，具体应依据幼儿园的规章制度或双方约定执行。若幼儿园规章制度或双方约定更有利于员工，则按更有利于员工的原则执行。
未签合同的双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 因此，若员工在私立幼儿园工作已超过一个月且未签订书面劳动合同，有权要求幼儿园支付未签合同期间的双倍工资差额。
二、不构成事实劳动关系的情况（如实习、兼职等）
工资计算原则：
- 若双方不构成事实劳动关系，如实习、兼职等，则工资计算通常依据双方之间的约定或幼儿园的内部规定。
- 在此情况下，员工请假期间的工资计算可能更加灵活，但同样应确保不违反法律法规的强制性规定。
权益保障：
- 即使不构成事实劳动关系，员工仍享有基本的劳动权益，如获得劳动报酬、休息休假等。
- 若幼儿园未按照约定支付工资或侵犯员工其他权益，员工可通过协商、投诉或诉讼等方式维护自己的合法权益。
三、建议与行动指南
与幼儿园协商：
- 首先，建议员工与幼儿园进行友好协商，明确请假期间的工资计算方式及未签合同的相关事宜。
- 协商过程中，可引用相关法律法规作为依据，以增强自己的谈判力。
收集证据：
- 若协商无果，员工应收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明自己与幼儿园之间存在事实劳动关系。
- 同时，保留好请假申请、幼儿园的回复等相关证据，以备后续维权之需。
寻求法律援助：
- 若员工在维权过程中遇到困难或疑问，可向我咨询或寻求其他专业律师的法律援助。
- 我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。
最后，希望以上分析能对您有所帮助。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。