结论：私立幼儿园在寒暑假期间与老师口头约定按天计算工资，这一做法的合法性需结合具体情况分析，不能一概而论。以下从不同角度进行详细阐述：

1. 劳动合同的约定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者应当遵循合法、公平、平等自愿、协商一致的原则，订立书面劳动合同。劳动合同中应明确约定工资支付方式、支付时间等关键条款。
   • 若私立幼儿园与老师在劳动合同中已明确约定寒暑假期间的工资支付方式（包括按天计算），且该约定不违反法律法规的强制性规定，则这一做法是合法的。
   • 若劳动合同中未明确约定寒暑假期间的工资支付方式，但双方通过口头协议达成一致，且该口头协议不违反法律法规的强制性规定，同时在实际履行过程中双方均无异议，那么这种口头约定在法律上也是被认可的。然而，口头协议存在举证困难的问题，一旦发生纠纷，可能难以证明其存在和内容。

2. 工资支付的相关规定：

   • 根据《工资支付暂行规定》等相关法律法规，用人单位应当按照劳动合同的约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。
   • 若私立幼儿园在寒暑假期间未按照劳动合同或口头协议的约定支付工资，或者支付的工资低于当地最低工资标准，则这一做法是违法的。

3. 特殊情况的考虑：

   • 若私立幼儿园因经营困难等原因，在寒暑假期间确实无法按照原约定支付工资，应与老师进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。例如，可以协商延期支付、分期支付或者调整工资支付方式等。
   • 若老师因个人原因（如请假、离职等）在寒暑假期间未提供劳动，私立幼儿园按照实际工作天数支付工资也是合理的。但这种情况下，应确保工资支付方式符合劳动合同的约定和法律法规的规定。

法律建议：

• 对于私立幼儿园而言，建议与老师签订书面劳动合同，并在合同中明确约定寒暑假期间的工资支付方式、支付时间等关键条款，以避免潜在的纠纷。
• 对于老师而言，若与私立幼儿园就寒暑假期间的工资支付方式存在口头约定，建议尽量通过书面形式（如邮件、短信等）进行确认，并保留好相关证据，以备不时之需。
• 若双方因寒暑假期间的工资支付问题发生纠纷，建议首先通过协商解决；协商不成的，可以向当地劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

可能法律后果：

• 若私立幼儿园未按照劳动合同或口头协议的约定支付工资，老师有权要求私立幼儿园支付拖欠的工资，并可能要求支付经济补偿金或赔偿金。
• 若因工资支付问题引发劳动争议，私立幼儿园可能面临劳动争议仲裁或诉讼的风险，并可能因此承担不利后果（如支付赔偿金、影响企业信誉等）。