结论：员工病假提供虚假医疗证明，公司不可以直接开除处理，但可以根据具体情况，依据相关法律法规和公司规章制度，采取相应的纪律处分措施，包括解除劳动合同（即开除），不过这需要满足一定的条件和程序。

分析说明：

1. 虚假医疗证明的性质：

   • 虚假医疗证明是员工为了获取病假而伪造或提供的虚假文件，这属于不诚实行为，严重违反了劳动纪律和职业道德。

2. 公司规章制度的适用：

   • 如果公司规章制度中明确规定了提供虚假医疗证明属于严重违反规章制度的行为，并且规定了相应的纪律处分措施，包括解除劳动合同，那么公司可以依据规章制度进行处理。
   • 关键点：规章制度必须合法有效，且已经向员工公示或告知。同时，规章制度中的规定不能违反法律法规的强制性规定。

3. 法律法规的依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 如果员工的虚假行为构成欺诈，且该欺诈行为足以影响公司决定是否与其继续保持劳动关系，公司也有权依据法律规定解除劳动合同。但这一点的适用需要谨慎，因为并非所有虚假行为都构成欺诈，且需要证明该欺诈行为对公司决策产生了实质性影响。

4. 处理程序和注意事项：

   • 调查核实：公司在发现员工提供虚假医疗证明后，应首先进行调查核实，确保事实清楚、证据确凿。
   • 通知工会：如果公司决定解除劳动合同，应事先将理由通知工会。工会认为不适当的，有权提出意见。如果公司违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求纠正。劳动者申请仲裁或者提起诉讼的，工会应当依法给予支持和帮助。
   • 书面通知：公司应向员工发出书面解除劳动合同通知书，明确解除的理由和依据，并告知员工享有的申诉权利。
   • 经济补偿：如果员工的行为不构成严重违反规章制度或欺诈，或者公司规章制度中未规定相应的纪律处分措施，公司解除劳动合同可能需要支付经济补偿。但在此情况下，由于员工提供了虚假医疗证明，公司可能无需支付经济补偿，具体需根据实际情况和法律法规进行判断。

后续建议：

• 完善规章制度：公司应完善规章制度，明确规定提供虚假医疗证明等不诚实行为的纪律处分措施，确保规章制度的合法性和有效性。
• 加强员工教育：公司应加强对员工的职业道德和劳动纪律教育，提高员工的诚信意识和法律意识。
• 及时处理纠纷：如果发生劳动纠纷，公司应及时与员工沟通协商，寻求和解或调解。如果无法达成一致，可以依法申请劳动仲裁或提起诉讼。

特殊场景提醒：

• 如果员工提供的虚假医疗证明涉及伪造国家机关公文、证件等违法行为，公司还应及时向公安机关报案，由公安机关依法处理。

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