可以申请劳动仲裁。以下从多个角度为你详细分析：

1. 未签订劳动合同：根据《劳动合同法》规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。你公司没有与你签订劳动合同，从第二个月起你就有权要求公司支付双倍工资差额，这是你可以申请劳动仲裁的一个重要诉求点。
2. 未购买社保：用人单位为劳动者缴纳社会保险是法定义务。公司没有为你购买社保，违反了《社会保险法》等相关法律法规。你可以在劳动仲裁中要求公司为你补缴社保，这也是合理合法的诉求。
3. 工资私人转账：虽然工资通过私人转账发放，但这并不影响你与公司之间存在事实劳动关系。只要能证明你与公司之间存在用工关系，比如有工作证、考勤记录、工作邮件、同事证言等证据，就可以认定你们之间存在劳动关系。工资私人转账只是工资发放形式的问题，不影响劳动关系的认定和劳动仲裁的申请。

申请劳动仲裁时，你需要注意以下几点：

1. 收集证据：尽可能收集能证明你与公司存在劳动关系的证据，如前面提到的工作证、考勤记录、工作邮件、同事证言等，以及工资转账记录等，这些证据将有助于支持你的仲裁诉求。
2. 确定仲裁请求：明确你在劳动仲裁中要主张的权利，比如要求公司支付未签订劳动合同的双倍工资差额、补缴社保等。
3. 注意仲裁时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从你知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。所以要及时申请劳动仲裁，避免超过时效。

如果你在申请劳动仲裁过程中遇到任何问题，或者需要进一步的法律帮助，都可以直接向我咨询。