结论：公司不能随意开除半瘫丧失自理能力的员工，否则可能构成违法解除劳动合同，需承担相应的法律责任。但具体是否构成违法解除，需结合员工是否处于医疗期、是否符合法定解除条件等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：
一、医疗期内的保护
医疗期定义：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据员工实际工作年限和在本单位工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。
医疗期内的保护：在医疗期内，公司不得依据《劳动合同法》第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。若员工半瘫丧失自理能力且处于医疗期内，公司开除员工将构成违法解除，需支付赔偿金。
二、医疗期满后的处理
医疗期满后的评估：医疗期满后，员工若仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，公司需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，可以解除劳动合同。但解除前，公司需按照《劳动合同法》第四十条的规定，对员工进行劳动能力鉴定，并根据鉴定结果作出相应处理。
违法解除的后果：若公司在医疗期满后，未按照法定程序进行劳动能力鉴定，或鉴定后未依法处理而直接开除员工，同样可能构成违法解除劳动合同。此时，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。
三、特殊情况下的处理
员工存在过错：若员工半瘫丧失自理能力是由于自身过错（如故意自伤、自杀等）导致的，且该过错符合《劳动合同法》第三十九条规定的解除条件（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职等），公司可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。
双方协商一致：若员工半瘫丧失自理能力后，双方就解除劳动合同达成一致意见，并签订书面协议，公司可以依法解除劳动合同。此时，公司需按照协议约定支付经济补偿或其他相关费用。
四、法律建议
对于员工：若遭遇公司违法解除劳动合同，应及时收集相关证据（如医疗证明、劳动合同、解除通知等），并向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金。
对于公司：在处理半瘫丧失自理能力的员工时，应严格遵守法律法规的规定，确保解除劳动合同的合法性和合理性。若需解除劳动合同，应提前进行劳动能力鉴定，并按照法定程序进行操作。
总结：公司不能随意开除半瘫丧失自理能力的员工，否则可能构成违法解除劳动合同。在处理此类问题时，应充分考虑员工的医疗期、劳动能力鉴定结果以及是否存在过错等因素，确保解除劳动合同的合法性和合理性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。