结论：原民办教师今年满60岁，能否申请劳动仲裁办理职工社保或补足15年农村居民社保，需分情况讨论，具体如下：
关于申请劳动仲裁办理职工社保
- 前提条件：劳动仲裁主要解决因履行劳动合同、解除劳动关系等产生的争议。若原民办教师与原工作单位（如学校、教育机构）存在劳动关系争议，且争议内容涉及社保缴纳问题（如单位未依法缴纳社保），则可申请劳动仲裁。
- 关键点：需证明与原单位存在劳动关系，且单位未履行社保缴纳义务。若能提供劳动合同、工资单、工作证明等证据，劳动仲裁机构可能支持要求单位补缴社保的请求。但需注意，劳动仲裁的时效一般为1年（从知道或应当知道权利被侵害之日起计算），若超过时效，可能无法获得支持。
- 限制：即使劳动仲裁支持补缴社保，也需单位配合办理。若单位已注销或无力承担，可能面临执行困难。此外，若原民办教师已超过法定退休年龄（如男60岁），部分地区可能不再允许补缴职工社保，需根据当地政策具体分析。
关于补足15年农村居民社保
- 前提条件：农村居民社保（如城乡居民基本养老保险）与职工社保是两种不同的制度。若原民办教师未参加职工社保或职工社保缴费年限不足15年，且符合城乡居民基本养老保险的参保条件（如户籍在农村、未享受其他养老保险待遇等），可自愿选择参加并补缴至15年。
- 关键点：城乡居民基本养老保险的补缴政策因地区而异，部分地区允许一次性补缴至15年，部分地区则要求逐年缴费。需咨询当地社保部门了解具体政策。
- 优势：与职工社保相比，城乡居民基本养老保险的缴费标准较低，适合经济条件有限的群体。但待遇水平也相对较低，需根据自身需求和经济能力选择。
建议：
- 若原民办教师与原单位存在劳动关系争议且未超过仲裁时效，可优先尝试申请劳动仲裁要求单位补缴职工社保。
- 若劳动仲裁不可行或单位无法配合，可考虑参加城乡居民基本养老保险并补缴至15年，以确保晚年基本生活保障。
- 具体操作前，建议携带相关材料（如身份证、工作证明、社保缴费记录等）咨询当地社保部门或劳动仲裁机构，以获取最准确、最权威的指导。