结论：使用公司打印机打印私人文件被开除，是否可以要求赔偿，这取决于多个因素，包括公司的规章制度、劳动合同的约定以及打印私人文件的具体情况等。以下从不同角度进行分析：
一、公司规章制度与劳动合同的约定
公司规章制度：
- 如果公司有明确的规章制度，规定员工不得使用公司资源（包括打印机）打印私人文件，并且该规章制度已经通过合法程序（如职工代表大会或全体职工讨论、协商确定，并公示或告知劳动者）制定并公布，那么员工违反这一规定，公司有权依据规章制度进行处理。
- 在这种情况下，如果公司规章制度中明确规定了此类行为可以导致开除，并且该规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司开除员工可能是合法的，员工要求赔偿的诉求可能难以得到支持。
劳动合同的约定：
- 如果劳动合同中有关于员工不得使用公司资源打印私人文件的约定，并且约定了违反此约定的后果（如开除），那么员工违反约定，公司也有权依据劳动合同进行处理。
- 同样，如果劳动合同中的约定不违反法律法规的强制性规定，公司开除员工可能是合法的。
二、打印私人文件的具体情况
打印文件的性质与数量：
- 如果员工只是偶尔打印少量私人文件，且未对公司造成实际损失或影响，那么公司直接开除员工可能过于严厉，员工可以主张公司违法解除劳动合同，并要求赔偿。
- 如果员工频繁打印大量私人文件，或者打印的文件涉及违法、违规内容，对公司造成了实际损失或不良影响，那么公司开除员工可能更为合理。
公司的处理程序：
- 公司在开除员工前，应当遵循合法的处理程序，如进行调查、听取员工陈述和申辩、告知员工处理结果等。
- 如果公司未遵循合法程序开除员工，员工可以主张公司违法解除劳动合同，并要求赔偿。
三、法律建议
审查公司规章制度与劳动合同：
- 员工应仔细审查公司的规章制度和劳动合同，了解其中关于使用公司资源打印私人文件的规定和约定。
收集证据：
- 如果员工认为公司开除自己是不合法的，应收集相关证据（如公司规章制度、劳动合同、打印记录、公司处理程序等）来支持自己的主张。
寻求法律帮助：
- 如果员工与公司就开除问题产生争议，可以寻求法律帮助，通过劳动仲裁或诉讼等途径解决争议。
举例说明：假设某公司规章制度中明确规定员工不得使用公司打印机打印私人文件，否则将视为严重违反公司规章制度，公司有权开除员工。某员工因多次使用公司打印机打印私人文件被公司发现，公司依据规章制度开除了该员工。在此情况下，如果公司规章制度制定程序合法且内容不违反法律法规强制性规定，那么公司开除员工可能是合法的，员工要求赔偿的诉求可能难以得到支持。但如果公司规章制度制定程序不合法或内容违反法律法规强制性规定，或者公司未遵循合法程序开除员工，那么员工可以主张公司违法解除劳动合同并要求赔偿。
后续行动建议：如果您面临类似情况，建议先与公司沟通协商，了解公司开除的具体原因和依据。如果协商无果，可以收集相关证据并寻求法律帮助，通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。