结论：根据您描述的情况，公司确实可能需要承担赔偿责任，具体取决于是否构成事实劳动关系以及公司是否存在违法行为。以下从不同角度为您详细分析：

1. 事实劳动关系的认定

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使双方未签订书面劳动合同，只要存在实际用工行为，即构成事实劳动关系。
   • 在您的情况下，虽然第三次未签订固定合同，但您仍在公司工作三年，这明显构成了事实劳动关系。公司不能以未签订书面合同为由否认与您的劳动关系。

2. 未签订书面劳动合同的法律责任

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 在您的情况下，由于第三次未签订书面合同且持续工作三年，公司至少应支付您从应当签订书面合同之日起至实际工作结束之日止的双倍工资差额（扣除已支付的部分）。但需注意，此处的“双倍工资”主张可能受诉讼时效限制，通常为一年，具体需结合您所在地区的司法实践。

3. 无固定期限劳动合同的签订

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条：“用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：……（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。”
   • 在您的情况下，由于已经连续签订了两次固定合同，且没有法定解除或终止劳动合同的情形，您有权要求公司签订无固定期限劳动合同。公司未签订的，可能构成违法。

4. 公司的赔偿责任

   • 鉴于公司未与您签订书面劳动合同且未签订无固定期限劳动合同（在您有权要求的情况下），公司可能面临支付双倍工资差额、经济补偿金等法律责任。
   • 经济补偿金的具体数额取决于您在公司的工作年限、工资水平等因素。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”

建议：

• 首先，收集并保存好与公司的劳动关系证明，如工作证、工资条、考勤记录等。
• 其次，与公司进行协商，要求公司支付双倍工资差额、签订无固定期限劳动合同或支付经济补偿金。
• 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

后续行动：

• 在申请仲裁前，建议您先咨询专业律师（即我，冯海文律师），了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。
• 准备好相关证据材料，以便在仲裁过程中充分证明自己的主张。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。