企业不出具解除劳动关系证明是违法的。这一结论主要基于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以下从多个角度为你详细分析：
一、法律依据与用人单位的义务
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须出具相应的证明，并在规定时间内为劳动者办理档案和社会保险关系的转移手续。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条进一步规定，若用人单位违反此规定未出具书面证明，劳动行政部门将责令其改正；若给劳动者造成损害，用人单位还需承担赔偿责任。
用人单位的法定义务：
- 出具解除或终止劳动合同的书面证明，这是用人单位的法定义务，不得以任何理由拒绝履行。
- 及时为劳动者办理档案和社保关系的转移，确保劳动者的合法权益不受影响。
二、企业不出具证明可能带来的后果
对劳动者的影响：
- 求职受阻：劳动者在寻找新工作时，新雇主通常会要求提供解除劳动关系的证明。若无法提供，可能导致求职受阻，进而造成工资收入损失。
- 失业保险待遇损失：若劳动者符合领取失业保险金的条件，但因单位未出具证明而无法办理失业登记和领取失业保险金，将遭受相应的经济损失。
对用人单位的法律责任：
- 行政责任：劳动行政部门有权责令用人单位改正未出具证明的行为，并可能给予行政处罚。
- 民事责任：若因单位未出具证明给劳动者造成损害，用人单位需承担赔偿责任，包括但不限于工资收入损失、失业保险待遇损失等。
三、劳动者的维权途径
友好沟通：
- 劳动者应首先尝试与用人单位的人力资源部门或相关负责人进行友好协商，明确指出单位有义务在解除或终止劳动合同时出具证明。
- 解释不开具证明可能给劳动者带来的不利影响，如无法顺利入职新单位、影响社保及档案转移、申请领取失业金等。
向劳动行政部门投诉：
- 若沟通无果，劳动者应向当地的劳动行政部门（一般是劳动监察大队）投诉。
- 投诉时需提供能证明与单位存在劳动关系以及劳动关系已经解除的证据，如劳动合同、工资支付记录、工作证、离职申请或交接手续等材料。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如投诉仍未解决问题，劳动者可以准备劳动仲裁申请书，详细说明仲裁请求（要求单位开具解除劳动关系证明）和事实和理由。
- 将仲裁申请书和相关证据材料一并提交至当地的劳动争议仲裁委员会。
- 如对劳动仲裁结果不满意或单位在规定时间内既不履行仲裁裁决也不起诉，劳动者可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。
四、举证责任与证据保留
举证责任：
- 劳动者需承担举证责任，证明单位未出具证明与自己遭受的损害之间存在因果关系。
证据保留：
- 劳动者应妥善保留好与用人单位的所有相关沟通记录，如邮件、短信、微信聊天记录、电话录音等。
- 同时，保留好工作凭证，如工资条、考勤记录、工作交接手续等，以便在后续维权时使用。
总结与建议：企业不出具解除劳动关系证明是违法的，劳动者在遭遇此类情况时，应积极维护自己的合法权益。首先尝试与单位友好沟通，若沟通无果则向劳动行政部门投诉，并准备好相关证据以支持自己的主张。若问题仍未解决，可通过申请劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的权益。在整个过程中，保持冷静、理性，并妥善保留好相关证据是成功的关键。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。