公司解除劳动关系不给离职证明是违法的。以下从多个角度对此问题进行详细分析：

法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位在解除或者终止劳动合同时，必须出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这一规定明确了用人单位在劳动合同解除或终止时的附随义务，即出具离职证明，这是用人单位必须履行的法定责任，具有强制性。

违法后果

若公司拒绝出具离职证明，将面临以下法律后果：

1. 行政责任：劳动行政部门有权对拒不出具离职证明的用人单位进行责令改正，确保其履行法定义务。

2. 赔偿责任：若因未出具离职证明给劳动者造成损害，如影响劳动者入职新单位导致的工资收入损失，或无法领取失业保险金等，用人单位还需承担赔偿责任。具体来说：

   • 无法入职新单位导致的经济损失：新单位往往要求劳动者提供上一家单位的离职证明以确认劳动关系已解除。若原用人单位拒不出具，导致劳动者错过新的工作机会并遭受经济损失，原用人单位需对此承担赔偿责任。
   • 无法领取失业保险金：离职证明是办理失业登记的重要材料之一，进而影响失业保险金的领取。若因用人单位未出具离职证明导致劳动者无法领取失业保险金，用人单位同样需赔偿劳动者因此遭受的损失。

劳动者维权途径

面对公司拒不出具离职证明的情况，劳动者可以采取以下维权途径：

1. 友好协商：首先尝试与公司进行友好协商，明确说明法律规定及自身需求，要求公司依法出具离职证明。

2. 向劳动行政部门投诉：若协商无果，劳动者可以向当地的劳动行政部门投诉。劳动行政部门将责令用人单位改正；若给劳动者造成损害，用人单位还需承担赔偿责任。

3. 申请劳动仲裁或提起诉讼：在协商和投诉均无法解决问题的情况下，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不满意的，还可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，以进一步维护自己的合法权益。

实际案例与启示

在实际操作中，已有不少劳动者因公司拒不出具离职证明而成功维权的案例。这些案例表明，劳动者在遭遇此类情况时，应充分了解自己的权益和法律规定，积极采取措施维护自身权益。同时，也提醒用人单位应严格遵守法律规定，及时为劳动者出具离职证明，并办理相关手续，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。

综上所述，公司解除劳动关系不给离职证明是违法的，且可能对劳动者造成诸多不利影响。劳动者应充分了解自己的权益和法律规定，积极采取措施维护自身权益。在必要时，可直接向我咨询，我将为你提供专业的法律帮助。