结论：公立学校聘请保洁人员是否需要签订合同以及工资是否与老师一起发放，这主要取决于学校的具体管理规定和与保洁人员的协商结果，但通常建议签订合同以明确双方权益，而工资发放方式则可能因学校而异。
分析：
合同签订问题：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。公立学校作为用人单位，聘请保洁人员从事清洁工作，双方构成劳动关系，因此应当签订书面劳动合同。
- 实际操作：尽管法律有明确规定，但在实际操作中，一些小型或管理不规范的公立学校可能存在未与保洁人员签订劳动合同的情况。然而，从保障双方权益的角度出发，签订合同是更为稳妥和合法的做法。合同可以明确双方的工作内容、工作时间、工资待遇、社会保险等关键条款，有助于避免后续纠纷。
工资发放问题：
- 学校管理规定：公立学校的工资发放通常遵循其内部的管理规定和财务制度。不同学校可能有不同的工资发放方式和时间安排，因此保洁人员的工资是否与老师一起发放，取决于学校的具体规定。
- 协商结果：除了学校的管理规定外，保洁人员的工资发放方式也可能通过与学校的协商来确定。如果保洁人员希望与老师一起发放工资，可以与学校进行沟通并尝试达成一致。
- 实际操作建议：无论工资是否与老师一起发放，保洁人员都应确保自己的工资得到及时、足额的支付。如果学校存在拖欠工资等违法行为，保洁人员有权向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。
建议：
- 对于公立学校而言，建议与保洁人员签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免后续纠纷。
- 对于保洁人员而言，应了解自己的工资待遇和发放方式，并与学校进行沟通确认。如果学校存在违法行为或拖欠工资等情况，应及时向相关部门投诉或寻求法律援助。
后续行动：
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