结论：当事人协议离婚时未对子女抚养问题作出处理，后续因此发生争执并另行提起诉讼的，其法律依据主要来源于《中华人民共和国民法典》中关于离婚后子女抚养的相关规定。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条：“父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。”
   • 这一条款明确规定了离婚后父母对子女的抚养义务，以及当父母双方就抚养问题无法达成协议时，人民法院有权根据最有利于未成年子女的原则进行判决。

2. 诉讼程序：

   • 当双方协议离婚但未就子女抚养问题作出处理，或者处理后发生争执时，任何一方均有权向人民法院提起诉讼，要求解决子女抚养问题。
   • 诉讼过程中，法院会考虑双方的经济状况、生活环境、子女的年龄和意愿（如果子女已满八周岁）等多方面因素，以作出最有利于子女的判决。

3. 实际案例与操作建议：

   • 在实际操作中，法院通常会倾向于保持子女原有的生活环境稳定，除非有充分的理由表明改变环境对子女更为有利。
   • 如果双方能够就抚养问题达成一致，可以签订抚养协议并提交给法院进行确认，这样既可以减少诉讼成本，又可以确保子女的利益得到保障。
   • 如果无法达成一致，建议双方积极准备证据，如收入证明、居住条件证明、子女意愿陈述等，以便在诉讼中争取更有利的判决。

4. 法律后果：

   • 一旦法院作出判决，双方必须遵守并执行。如果一方不履行判决义务，另一方有权向法院申请强制执行。
   • 同时，随着子女年龄的增长和情况的变化，任何一方均有权向法院提出变更抚养关系的请求，但需要提供充分的证据证明变更对子女更为有利。

总结与建议：

• 当事人协议离婚时未对子女抚养问题作出处理或处理后发生争执的，可以依据《中华人民共和国民法典》的相关规定向人民法院提起诉讼。
• 在诉讼过程中，建议双方积极准备证据并寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的权益和子女的利益。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我将竭诚为您提供专业的法律服务。