结论：合同制员工生病时，公司一般不得随意解除劳动合同，但在特定情形下可以依法解除，并需遵循相关法律法规确保员工的合法权益。下面我将从不同角度详细分析这个问题：

一、法定不得解除劳动合同的情形（医疗期内）

根据《劳动合同法》第四十二条第三项的规定，当劳动者患病或者非因工负伤，且在规定的医疗期内时，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间内不得被解除劳动合同的时限。医疗期的具体长度根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，例如，实际工作年限十年以下，且在本单位工作年限五年以下的，医疗期为三个月；五年以上的，为六个月。

举例：假设小张在一家公司工作了四年，突然生病需要治疗，根据规定，他享有三个月的医疗期。在这三个月内，公司不得随意解除与小张的劳动合同。

二、可以解除劳动合同的特殊情形

尽管一般情况下医疗期内不得解除劳动合同，但也存在例外情况：

1. 医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：

   • 根据《劳动合同法》第四十条的规定，若劳动者在医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但在此种情况下，用人单位仍需向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准按照劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

2. 员工存在严重违纪等过错情形：

   • 如果员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的过错情形，即使处于医疗期内，用人单位也有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
   • 举例：小李在病假期间，未经公司允许，将公司的商业机密泄露给了竞争对手，给公司带来了重大经济损失。在这种情况下，公司有权依法解除与小李的劳动合同，且无需支付经济补偿。

3. 劳动合同中的相关约定：

   • 如果劳动合同中有关于员工生病期间解除劳动合同的相关约定，并且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么也可以按照约定来处理。但需注意，此类约定应合理且合法，不能侵犯员工的合法权益。

三、法律保障与维权途径

公司在处理员工生病期间的问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。如果公司有任何不当行为，如违法解除劳动合同等，员工可以向劳动仲裁委员会提起仲裁申请，或者向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

建议：作为员工，在生病期间应保留好相关的医疗证明和病假条等证据，以便在发生争议时维护自己的权益。同时，公司也应制定合理的规章制度，明确员工生病期间的处理流程，以避免不必要的法律纠纷。

如果你在劳动工伤或合同纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我会为你提供专业且全面的解答。