结论前置：

1. 一般情况下，单位在第三次固定期限劳动合同到期后辞退员工，员工不能直接要求双倍工资。但若单位违法辞退，员工有权要求支付双倍经济补偿金。
2. 若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而单位未签订且违法辞退，员工同样可以要求双倍经济补偿金。

法律分析：

1. 关于双倍工资的主张：

   • 双倍工资通常与未签订书面劳动合同或违法解除劳动合同相关。在您的情况下，由于已经签订了三次固定期限劳动合同，因此不存在未签订书面劳动合同的问题，也就不能直接主张双倍工资。
   • 但是，如果单位在第三次合同到期后，没有合法理由就辞退您，这构成了违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，单位需要按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金，这可以视为一种“双倍”的补偿，但与通常所说的“双倍工资”在法律性质上有所不同。

2. 关于无固定期限劳动合同的签订：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反公司规定或被裁员等特定情形的，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
   • 在您的情况下，已经连续签订了三次固定期限劳动合同，如果您提出或同意续订，且没有上述特定情形，您有权要求单位与您签订无固定期限劳动合同。如果单位拒绝并违法辞退您，您同样可以要求支付双倍经济补偿金。

3. 关于经济补偿的计算：

   • 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
   • 这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向您支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向您支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
   • 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或职工月平均工资三倍，如适用）
   • 双倍经济补偿金：即上述经济补偿金的两倍。

4. 关于公司的合法解除情形：

   • 公司可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定合法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。这些情形包括在试用期间被证明不符合录用条件的、严重违反用人单位的规章制度的、严重失职给用人单位造成重大损害的等。
   • 如果公司以这些合法理由解除劳动合同，您则不能要求支付经济补偿金或双倍经济补偿金。

法律建议：

• 如果您认为单位在第三次合同到期后违法辞退了您，或者您符合签订无固定期限劳动合同的条件而单位未签订，您可以先与单位进行协商，要求支付相应的经济补偿金或双倍经济补偿金。
• 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，建议您保留好相关的证据材料，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以便在需要时提供证明。

总结：单位在第三次固定期限劳动合同到期后辞退员工，员工不能直接要求双倍工资，但若单位违法辞退或未签订无固定期限劳动合同而违法辞退，员工可以要求支付双倍经济补偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。