结论：下一家公司不可以不签合同。无论您与上一家公司的合同是否到期，只要您与新的公司建立了劳动关系，新公司就有义务与您签订书面劳动合同。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”这意味着，一旦您与新公司建立了劳动关系，新公司就必须在一个月内与您签订书面劳动合同。
不签合同的法律后果：
- 如果新公司未在规定时间内与您签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”因此，新公司可能会面临支付双倍工资的法律风险。
实际操作建议：
- 在您入职新公司时，应主动要求与公司签订书面劳动合同，并仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到保障。
- 如果公司拒绝签订或拖延签订合同，您可以与公司进行沟通协商，明确表达自己的诉求和法律依据。
- 如果沟通无果，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
特殊情况考虑：
- 如果您与上一家公司的合同尚未到期，但您已经与新公司建立了劳动关系（例如，您提前离职并入职新公司），这并不影响新公司与您签订书面劳动合同的义务。新公司仍然需要在规定时间内与您签订合同。
- 如果您与上一家公司的合同到期后，您选择休息一段时间再入职新公司，那么从您入职新公司的那一刻起，新公司就有义务与您签订书面劳动合同。
总结与建议：
无论您与上一家公司的合同是否到期，只要您与新的公司建立了劳动关系，新公司就有义务在规定时间内与您签订书面劳动合同。这是法律对劳动者的保护，也是对用人单位的约束。如果您遇到新公司拒绝签订或拖延签订合同的情况，建议您及时与公司沟通协商，并保留好相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等），以便在必要时维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。