结论：公司未与您签订劳动合同且在您工作一个月后解除劳动关系，这一行为很可能构成违法。以下从不同角度为您详细分析：
一、未签订劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若用人单位未在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同，自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
具体分析：
- 您在公司工作了一个月，公司未与您签订劳动合同，这本身已经违反了劳动合同法的规定。
- 如果公司继续不与您签订劳动合同，从第二个月起，您有权要求公司支付双倍工资。
二、公司解除劳动关系的合法性
公司解除劳动关系是否合法，取决于解除的原因和程序是否符合法律规定。
1. 合法解除的情况：
- 如果公司能够证明您存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 但公司需要提供充分的证据来证明这些情形的存在，并且解除程序需要符合法律规定，如提前通知、听取工会或职工意见等。
2. 违法解除的情况：
- 如果公司无法证明您存在上述违法或违纪行为，或者解除程序不符合法律规定，那么公司的解除行为就构成违法解除。
- 违法解除劳动关系的，公司需要支付经济赔偿金，经济赔偿金的标准是经济补偿金的两倍。经济补偿金按照您在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
具体到您的情况：
- 您仅在公司工作了一个月，如果公司无法证明您存在违法或违纪行为，且解除程序不符合法律规定，那么公司的解除行为很可能构成违法解除。
- 由于您工作时间较短，经济补偿金可能按照半个月工资的标准计算，但违法解除的赔偿金则是经济补偿金的两倍，即一个月工资。
三、建议与行动
与公司协商：
- 您可以首先尝试与公司协商，要求公司支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动关系的赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
- 在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与公司存在劳动关系以及公司未签订劳动合同和违法解除的事实。
寻求法律援助：
- 如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询，我将为您提供专业的法律支持。
最后，劳动权益是劳动者的基本权益，受到法律的保护。如果公司存在违法行为，您有权通过法律途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。