不签劳动合同公司辞退员工是违法的。下面我将从几个方面详细解释这个问题：

1. 劳动合同的签订与法律规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若未同时订立，则应在用工之日起一个月内完成签订。
   • 如用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未签订书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 劳动关系的实际存在与权利保障：

   • 即使未签订书面劳动合同，只要存在实际的用工行为，即视为建立了劳动关系。
   • 在此情况下，劳动者仍享有劳动法规定的各项权利，用人单位不能因未签订劳动合同而随意辞退员工。

3. 辞退员工的合法性判断：

   • 只有在特定合法情形下，如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职等，用人单位才有权辞退员工。
   • 若非因这些法定情形，用人单位无故辞退员工，则属于违法辞退。

4. 违法辞退的法律后果：

   • 用人单位需承担相应的法律责任，包括但不限于支付经济补偿金、赔偿金等。
   • 经济补偿金通常按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
   • 赔偿金则是经济补偿标准的二倍。

综上所述，不签劳动合同并辞退员工是违法的，用人单位需承担相应的法律责任。如果你遇到了这种情况，可以依法维护自己的合法权益，要求用人单位支付相应的经济补偿和赔偿金。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。