结论：若公司三个月未支付竞业补偿，员工有权解除竞业协议，且在此情况下公司起诉员工，法院通常会支持员工的解除请求，但具体还需结合实际情况和证据来判断。
法律依据与详细分析
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第二十三条，用人单位与劳动者可以在劳动合同中约定竞业限制条款，并约定在解除或者终止劳动合同后，在竞业限制期限内按月给予劳动者经济补偿。
- 《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十八条明确规定，当事人在劳动合同或者保密协议中约定了竞业限制和经济补偿，劳动合同解除或者终止后，因用人单位的原因导致三个月未支付经济补偿，劳动者请求解除竞业限制约定的，人民法院应予支持。
员工解除竞业协议的权利：
- 当公司三个月未支付竞业补偿时，员工有权根据上述法律规定请求解除竞业限制约定。
- 员工应通过书面通知（如快递邮寄解除通知函）或电子通知（如电子邮件）的方式向公司发出解除竞业限制约定的通知，并保留好相关的送达凭证。
公司起诉员工的法律后果：
- 如果公司在此情况下起诉员工，要求员工继续履行竞业协议或承担违约责任，法院通常会根据上述法律规定，支持员工的解除请求。
- 除非公司能够提供充分证据证明其未支付补偿金有合理理由，或者员工存在其他违约行为，否则公司很难获得法院的支持。
证据的重要性：
- 在处理此类纠纷时，证据是关键。员工需要保留证明公司三个月未支付补偿金的证据，如银行工资流水明细、与公司的沟通记录等。
- 公司若主张已支付补偿金，也应提供相应的支付凭证，如转账记录、签收记录等。
实际操作建议
员工方面：
- 在发现公司三个月未支付竞业补偿时，应及时与公司沟通协商，要求公司支付补偿金。
- 如果协商无果，应尽快通过书面通知的方式向公司发出解除竞业限制约定的通知，并保留好相关证据。
- 如有必要，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
公司方面：
- 公司应严格遵守竞业协议的约定，按时支付竞业补偿金。
- 如果因特殊原因无法按时支付，应及时与员工沟通协商，并尽快补足支付义务。
- 避免采取起诉等法律手段来对抗员工的合理解除请求，以免承担不利的法律后果。
可能的法律后果
- 如果员工成功解除竞业协议，将不再受该协议的约束，可以自由从事与原公司竞争的业务。
- 如果公司因未支付补偿金而被法院判决承担不利后果，可能需要支付拖欠的补偿金、赔偿员工因此遭受的损失等。
综上所述，当公司三个月未支付竞业补偿时，员工有权解除竞业协议，且在此情况下公司起诉员工很难获得法院的支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。