结论前置：公办园合同制教师生病了，园方一般不可以随意辞退，但存在特定情形时可能合法解除劳动合同。以下从不同角度进行分析：

一、一般情况下，生病不是辞退的合法理由

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，如果公办园合同制教师生病且处于医疗期内，园方不能仅因教师生病就辞退其。医疗期的具体长度根据劳动者的工作年限和在本单位的工作年限来确定，一般为三个月到二十四个月不等。

二、特定情形下，园方可能合法解除劳动合同

尽管生病本身不是辞退的合法理由，但如果教师的病情严重到无法继续履行劳动合同，或者经过劳动能力鉴定委员会鉴定为完全丧失劳动能力，且不符合退休、退职条件的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。不过，这种情况需要严格的法定程序和证据支持，不是园方单方面可以决定的。

另外，如果教师在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但即便如此，用人单位也需要支付经济补偿金，并按照规定为劳动者办理社会保险关系转移手续。

三、园方违法辞退的法律后果

如果园方在教师生病且处于医疗期内，或者没有合法理由的情况下辞退教师，那么园方的行为将构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准根据劳动者在本单位的工作年限和月工资来确定。

四、建议与提醒

1. 保留证据：如果教师认为自己的权益受到侵害，应当及时保留相关证据，如医疗证明、劳动合同、辞退通知等，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
2. 协商解决：在发生争议时，双方可以尝试通过协商的方式解决纠纷，以减少诉讼成本和时间成本。
3. 寻求法律援助：如果协商无果，教师可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼，寻求法律援助和保护。

总结：公办园合同制教师生病了，园方一般不可以随意辞退。如果园方违法辞退，教师有权要求园方支付赔偿金。在处理此类纠纷时，建议教师保留好相关证据，并尝试通过协商或法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。