结论：公司不许连休15天是否合法，需根据具体情况判断，包括公司的规章制度、劳动合同的约定以及相关法律法规的规定。以下从多个角度进行分析：
一、公司规章制度与劳动合同的约定
公司规章制度：
- 公司有权根据自身经营需要制定规章制度，包括休假政策。如果公司的规章制度中明确规定了员工不能连续休假超过一定天数（如15天），并且这一规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司有权拒绝员工连休15天的请求。
- 关键点：规章制度需经过民主程序制定，且已向员工公示或告知，否则可能对员工不产生约束力。
劳动合同的约定：
- 劳动合同是员工与公司之间约定双方权利和义务的法律文件。如果劳动合同中明确规定了员工的休假安排，包括连休的天数限制，那么双方应遵守劳动合同的约定。
- 关键点：劳动合同中的约定不得违反法律法规的强制性规定，否则无效。
二、相关法律法规的规定
《劳动法》与《劳动合同法》：
- 根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，员工享有休息休假的权利。但是，具体的休假安排（包括连休的天数）可能受到公司规章制度和劳动合同的约束。
- 关键点：法律法规并未明确规定员工不能连休多少天，但要求公司保障员工的休息休假权利，并合理安排员工的工作和休息时间。
特殊情况下的休假：
- 如果员工因特殊原因（如疾病、家庭紧急情况等）需要连休15天或更长时间，且能够提供相关证明，公司应根据实际情况予以考虑，并可能需要根据法律法规的规定支付相应的工资或福利。
- 关键点：特殊情况下的休假需符合法律法规的规定，并可能需要公司提供相应的证明或批准。
三、建议与措施
与公司协商：
- 如果员工希望连休15天，但公司拒绝，建议首先与公司进行协商，了解公司拒绝的具体原因，并尝试达成共识。
查阅公司规章制度和劳动合同：
- 员工应仔细查阅公司的规章制度和劳动合同，了解其中关于休假的具体规定和约定，以便更好地维护自己的权益。
寻求法律援助：
- 如果员工认为公司的行为违反了法律法规或劳动合同的约定，且协商无果，可以寻求法律援助或向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。
后续行动建议：如果你面临公司不许连休15天的情况，且认为自己的权益受到侵害，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。