结论：在劳动争议案件中，若双方都愿意调监控但法院拒绝，且因此导致案件败诉，申请再审时可以考虑依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条的相关规定，特别是其中关于“原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的”或“原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的”等情形（若监控视频属于此类证据），来主张原审判决存在错误，进而申请再审。但具体是否适用，需结合案件具体情况及监控视频在案件中的实际作用来判断。
分析说明：
再审的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条，当事人的申请符合下列情形之一的，人民法院应当再审：……（五）对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的；……（七）审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的；……（九）违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的；……以及其它应当再审的情形。虽然该条款未直接提及“监控视频未调取”作为再审理由，但若监控视频是认定案件事实的关键证据，且因法院未调取而导致事实认定错误，可能间接符合上述条款中关于“认定事实的主要证据未经质证”或“违反法律规定，剥夺当事人辩论权利”（如果因未调取监控而影响了当事人的辩论）等情形。
- 特别地，如果监控视频被证明是真实的，且能直接证明案件关键事实，而法院未予调取或考虑，可能构成“原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的”或“原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证”的类似情况（这里的“类似”是指从证据重要性和对案件影响的角度考虑，并非直接对应法条字面意思），尽管这种对应并非绝对，但在申请再审时可以作为论证原审判决存在错误的一个角度。
监控视频在案件中的作用：
- 监控视频作为证据，其重要性取决于它在案件中的实际作用。如果监控视频能够直接证明或反驳案件的关键事实，如工伤发生的过程、劳动关系的存在与否等，那么它就是认定案件事实的重要证据。
- 在申请再审时，需要详细阐述监控视频的内容、获取方式、对案件事实认定的影响等，以证明法院未调取监控视频导致了事实认定错误。
申请再审的实践操作：
- 在申请再审时，除了依据上述法律规定外，还需要提交详细的再审申请书，说明再审的理由、依据和请求。
- 同时，需要提供相关证据材料，如监控视频的存在证明（如监控设备的位置、拍摄时间等）、法院未调取监控视频的记录（如庭审笔录、法官的答复等）以及监控视频对案件事实认定的影响分析等。
行动建议：
- 收集证据：首先，收集所有与监控视频相关的证据材料，包括监控设备的位置、拍摄时间、视频内容摘要等。
- 撰写再审申请书：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，撰写详细的再审申请书，明确再审的理由、依据和请求。
- 提交申请：将再审申请书及相关证据材料提交给有管辖权的人民法院，并按照法院的要求缴纳再审申请费（如有）。
- 跟进案件进展：提交再审申请后，及时跟进案件的进展情况，与法院保持沟通，了解再审申请的审查结果。
注意事项：
- 申请再审是一个复杂的法律程序，需要专业的法律知识和经验。因此，在申请再审前，建议咨询专业律师（即我本人，郝虹森律师，专注于婚姻家庭、房产纠纷、劳动纠纷等多个领域）的意见，以确保再审申请的合法性和有效性。
- 监控视频作为证据，其真实性和合法性也需要得到确认。如果监控视频存在伪造、篡改等情形，将可能影响其作为证据的效力。因此，在申请再审时，需要确保监控视频的真实性和合法性。