结论：您这种情况虽然未签订劳动合同，但依然可以依据相关法律法规申请工伤鉴定并获得相应赔偿。以下是从不同角度为您详细分析的理赔流程及要点：
一、确认劳动关系
法律依据：
- 根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：
- 用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
- 用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
- 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
您的情形：
- 您自带工具为工地公司提供短期计件活，虽然未签订劳动合同，但如果您接受工地公司的管理，按照其要求完成工作，并获取报酬，那么您与工地公司之间很可能存在事实劳动关系。
- 您持有的门禁卡和参加的三级教育（通常指公司级、车间级、班组级安全教育）可以作为证明您与工地公司存在劳动关系的证据。
二、申请工伤鉴定
申请流程：
- 报告事故：在发生工伤事故后，您或您的家属应立即向工地公司报告，并要求公司及时救治伤员。
- 收集证据：收集与工伤事故相关的证据，如医疗记录、证人证言、现场照片等。
- 提出申请：在事故发生之日起一年内，向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时需提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书等。
您的情形：
- 您应尽快向工地公司报告工伤事故，并要求公司协助您收集相关证据。
- 如果工地公司不配合，您可以自行收集证据，并向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
三、获得工伤赔偿
赔偿项目：
- 工伤赔偿项目通常包括医疗费、住院伙食补助费、交通费、食宿费、康复治疗费、辅助器具费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。
- 如果因工伤导致死亡，还可以获得丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
赔偿标准：
- 赔偿标准根据工伤等级和当地的相关规定确定。例如，一次性伤残补助金的标准为本人工资乘以相应的月数（如一级伤残为27个月，二级伤残为25个月，以此类推）。
您的情形：
- 在获得工伤认定后，您可以根据工伤等级和当地规定向工地公司或工伤保险基金申请相应的工伤赔偿。
- 如果工地公司未为您缴纳工伤保险费，那么所有工伤赔偿项目均应由工地公司承担。
四、特殊情况处理
如果工地公司否认劳动关系：
- 您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认您与工地公司之间的劳动关系。
- 在仲裁过程中，您可以提供门禁卡、三级教育记录、工作记录、工资支付记录等证据来证明劳动关系的存在。
如果工地公司拒绝赔偿：
- 您可以向当地劳动保障监察部门投诉，要求工地公司履行赔偿义务。
- 如果投诉无果，您还可以向当地人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
建议：在整个过程中，建议您保留好所有与工伤事故相关的证据和文件，以便在需要时提供证明。同时，如果您对工伤鉴定和赔偿流程不熟悉或遇到困难，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。