结论：在您描述的情况下，是否需要退钱取决于多种因素，包括双方的实际行为、是否存在口头约定、对方不继续经营的原因以及您是否因此遭受了实际损失等。以下是从不同角度进行的分析：
合同关系角度：
- 虽然双方没有签订书面合同，但根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，口头合同也是具有法律效力的，只要双方意思表示真实且不违反法律、行政法规的强制性规定。因此，如果双方之间存在关于快递业务转让的口头约定，并且您已经按照约定履行了部分或全部义务（如交付了相关设备、客户资料等），那么对方单方面要求退钱可能缺乏法律依据。
- 然而，由于缺乏书面证据，如果对方否认口头约定的存在或内容，您可能需要提供其他证据（如证人证言、转账记录、聊天记录等）来证明双方之间的合同关系及约定内容。
过户与责任角度：
- 如果快递业务的转让涉及到相关证照、许可的过户，而您未完成过户手续，这可能成为对方要求退钱的一个理由。但即便如此，对方也不能单方面要求退还全部款项，而应考虑您已提供的服务或资产的价值，以及对方因此获得的实际利益。
- 如果过户手续的未完成是由于对方的原因（如未提供必要文件、未配合办理等），则您可能无需承担全部责任，甚至有权要求对方承担因此造成的损失。
实际损失与公平原则角度：
- 根据《中华人民共和国民法典》的公平原则，如果对方仅经营了一个月就不做了，且您因此遭受了实际损失（如设备折旧、客户流失等），您可以要求对方承担相应的赔偿责任，而不是简单地退还全部款项。
- 另一方面，如果对方确实因不可抗力或其他合理原因无法继续经营，且您未因此遭受实际损失，那么从公平角度出发，双方可以协商退还部分款项或采取其他补偿措施。
建议与行动：
- 收集证据：首先，您应尽可能收集与快递业务转让相关的所有证据，包括口头约定的证明、转账记录、聊天记录、设备交接清单等。
- 协商解决：在收集到足够证据后，您可以尝试与对方进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
- 法律途径：如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决争议，如向法院提起诉讼或申请仲裁。在此过程中，您需要准备充分的证据来支持自己的主张。
后续思考依据：在处理此类纠纷时，关键在于证明双方之间的合同关系及约定内容，以及评估各自因合同履行而遭受的实际损失。因此，在未来的交易中，建议您尽量签订书面合同，并明确约定双方的权利义务、违约责任等条款，以降低法律风险。如果您有任何进一步的疑问或需要法律帮助，请随时向我咨询。