结论：在您描述的情况下，即使公司没有给您合同，只要您能证明与用人单位存在劳动关系，并且是在工作过程中受到的伤害，您仍然可以直接申请工伤认定。

详细分析：

1. 工伤认定的基本条件：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这并不要求职工必须持有劳动合同，关键在于证明与用人单位存在劳动关系以及伤害是在工作过程中发生的。

2. 证明劳动关系的材料：

   • 您提到的打卡记录、工资打卡记录以及证人证言，都是证明您与用人单位存在劳动关系的重要证据。打卡记录可以显示您的工作时间和出勤情况，工资打卡记录则证明了用人单位向您支付了劳动报酬，证人证言则可以作为辅助证据来支持您的主张。

3. 申请工伤认定的流程：

   • 您需要向当地的社会保险行政部门（通常是人力资源和社会保障局）提出工伤认定申请。在申请时，您需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料（如您提到的打卡记录、工资打卡记录、证人证言等）、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书等材料。
   • 社会保险行政部门在收到申请后，会进行调查核实，并在一定期限内作出工伤认定的决定。

4. 公司未提供合同的影响：

   • 公司未给您提供合同，并不影响您申请工伤认定的权利。劳动合同是证明劳动关系的一种重要方式，但并非唯一方式。如前所述，您可以通过其他证据来证明与用人单位存在劳动关系。

5. 后续赔偿问题：

   • 一旦被认定为工伤，您就有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴等。如果用人单位未为您缴纳工伤保险费，那么这些费用将由用人单位承担。

建议：

• 在申请工伤认定前，建议您先收集并整理好所有能证明您与用人单位存在劳动关系以及伤害是在工作过程中发生的证据。
• 如果可能的话，您可以尝试与公司协商解决此事，看是否能达成一致的赔偿方案。
• 如果协商无果，或者公司拒绝承认您的工伤，那么您可以及时向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请，并寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的合法权益。

最后，如果您在申请工伤认定或后续赔偿过程中遇到任何问题或困难，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。