针对您提出的“不给办理退休应该起诉谁”的问题，这确实是一个涉及个人权益和法律程序的重要事项。在解答这个问题之前，我想先明确一点：办理退休手续通常涉及多个环节和部门，因此，在决定起诉之前，我们需要先弄清楚是哪个环节或哪个部门出现了问题。
一、分析可能的问题环节和部门
单位人事部门：
- 如果您的档案、工龄、缴费记录等关键信息由单位人事部门管理，且该部门在退休手续办理过程中存在疏忽或错误，导致您无法按时办理退休，那么单位人事部门可能是首先需要沟通的对象。
社会保险经办机构：
- 社会保险经办机构是负责审核退休申请、计算养老金等具体事务的部门。如果该机构在审核过程中发现您的材料不全、不符合退休条件或存在其他问题，并拒绝为您办理退休，那么该机构也是您需要关注的对象。
人力资源和社会保障局：
- 作为社会保险的行政主管部门，人力资源和社会保障局负责监督社会保险经办机构的工作，并处理相关的行政复议和行政诉讼。如果您认为社会保险经办机构的决定存在错误或不当，可以向该局提出行政复议或行政诉讼。
二、确定起诉对象
如果问题出在单位人事部门：
- 您首先应该尝试与单位人事部门沟通，要求其纠正错误或提供必要的协助。如果沟通无果，您可以考虑向单位上级主管部门或劳动争议调解仲裁机构投诉。在极端情况下，如果单位的行为严重侵害了您的权益，您也可以考虑对单位提起民事诉讼。但请注意，这通常不是直接起诉单位人事部门个人，而是起诉单位本身。
如果问题出在社会保险经办机构：
- 您应该先向该机构提出书面异议或申请复核。如果该机构仍然拒绝为您办理退休，您可以向人力资源和社会保障局提出行政复议。如果对行政复议结果仍不满意，您可以考虑向人民法院提起行政诉讼，起诉对象为社会保险经办机构。
如果问题涉及多个部门或环节：
- 在这种情况下，您可能需要先通过行政复议或行政诉讼等法律途径明确责任主体。这通常意味着您需要先向人力资源和社会保障局提出行政复议申请，要求其调查并确定哪个部门或环节出现了问题。如果对行政复议结果不满意，您再向人民法院提起行政诉讼。
三、建议行动步骤
收集证据：
- 包括您的档案材料、缴费记录、单位通知或拒绝办理退休的书面文件等。
与相关部门沟通：
- 尝试与单位人事部门、社会保险经办机构或人力资源和社会保障局进行沟通，了解问题所在并寻求解决方案。
提出行政复议或行政诉讼：
- 如果沟通无果，您可以根据具体情况向人力资源和社会保障局提出行政复议申请或向人民法院提起行政诉讼。
寻求法律援助：
- 如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。
四、注意事项
- 在整个过程中，请保持冷静和理性，避免采取过激行为。
- 确保您的所有行动都符合法律程序和规定。
- 保留好所有相关证据和文件，以备不时之需。
最后，我想强调的是，起诉并不是解决退休手续办理问题的首选方式。在大多数情况下，通过沟通、协商和行政复议等法律途径可以更有效地解决问题。希望这些信息能对您有所帮助，并祝您能够顺利办理退休手续。