结论：合同期限届满后双方没有重新续签合同但又继续履行了一年的情况，在法律上通常会被视为双方同意以原条件继续履行合同，即形成了不定期合同关系。针对这种情况，可以从以下几个角度进行分析和处理：

1. 不定期合同关系的认定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同期限届满后，当事人继续履行合同的，原合同继续有效，但是合同期限变为不定期。这意味着，双方在没有明确续签书面合同的情况下，通过实际行为表明了继续履行原合同的意愿，从而形成了不定期的合同关系。

2. 不定期合同关系的法律后果：

   • 在不定期合同关系下，双方均享有随时解除合同的权利，但应当提前通知对方。这是为了保障双方的合法权益，避免因为合同期限的不确定性而给一方造成不必要的损失。
   • 如果一方未经通知擅自解除合同，给对方造成损失的，应当承担赔偿责任。因此，在解除不定期合同时，务必提前与对方沟通并通知解除事宜。

3. 处理建议：

   • 协商续签：如果双方希望继续合作，建议尽快协商并签订新的书面合同，明确合同期限、权利义务等条款，以避免未来可能出现的纠纷。
   • 明确解除意向：如果一方或双方不再希望继续履行合同，应当提前通知对方，并协商解除合同的具体事宜，如结算款项、返还财物等。
   • 保留证据：在继续履行合同的过程中，建议双方保留好相关证据，如交易记录、沟通记录等，以备不时之需。这些证据在未来可能出现的纠纷中将成为重要的证明材料。

4. 特殊情况考虑：

   • 如果原合同中存在特别约定，如自动续期条款、特定解除条件等，应当根据这些特别约定来处理合同期限届满后的事宜。
   • 如果双方在继续履行合同的过程中对原合同条款进行了实质性变更，也应当视为形成了新的合同关系，并按照新的合同条款来履行。

示例说明： 假设甲乙双方签订了一份为期一年的租赁合同，合同期限届满后双方没有续签书面合同，但乙方继续使用了甲方的房屋并支付了租金。在这种情况下，甲乙双方之间就形成了不定期的租赁合同关系。如果甲方希望收回房屋，应当提前通知乙方并协商解除租赁合同的具体事宜；如果乙方希望继续租赁房屋，则应当与甲方协商并签订新的租赁合同。

进一步思考： 在处理这类问题时，还需要考虑双方的实际履行情况、行业惯例、交易习惯等因素。如果双方在实际履行过程中对原合同条款进行了默示变更或补充，也应当根据这些变更或补充来处理合同期限届满后的事宜。因此，在处理具体案件时，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见。

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