结论：即使名义法人担任执行董事且未签订劳动合同，只要存在事实劳动关系，就有权要求公司为其购买社保。以下从不同角度展开分析：

1. 名义法人、执行董事与劳动关系的认定

• 名义法人身份不影响劳动关系：名义法人（即挂名法定代表人）若实际参与公司经营管理（如担任执行董事），且接受公司管理、从事公司安排的工作、领取劳动报酬，则与公司形成事实劳动关系。
  
• 执行董事的特殊性：执行董事通常属于公司高级管理人员，但其身份不排斥劳动关系。若执行董事的职责包含日常经营管理（如考勤、汇报等），且公司对其有实际约束，则符合劳动关系特征。
  
• 未签劳动合同不影响社保权利：根据《劳动合同法》，未签订书面劳动合同不影响劳动关系的成立。只要存在事实劳动关系，公司就必须为员工缴纳社保。

2. 社保缴纳的法律依据

• 强制缴纳义务：根据《社会保险法》第58条，用人单位必须自用工之日起30日内为员工办理社保登记。未缴纳的，社保部门可责令补缴，并加收滞纳金（《社会保险法》第86条）。
  
• 高管同样适用：即使员工是执行董事或名义法人，只要其与公司存在劳动关系，就属于社保缴纳范围。实践中，部分公司以“高管身份”为由逃避社保，但法律未对此作出例外规定。

3. 实务中的操作建议

• 收集证据证明劳动关系：
  
  • 工资发放记录（银行流水、转账凭证）；
    
  • 考勤记录（如打卡记录、会议签到表）；
    
  • 工作安排文件（如邮件、微信聊天记录）；
    
  • 公司规章制度适用证明（如要求遵守考勤、报销流程等）。
    
• 协商或投诉途径：
  
  • 先与公司协商补缴社保；
    
  • 若协商无果，可向当地社保部门投诉（需提交劳动关系证据）；
    
  • 也可申请劳动仲裁，确认劳动关系并要求补缴社保。
    

4. 潜在风险提示

• 名义法人的连带责任：若名义法人未实际参与经营，但公司存在违法行为（如欠税、违法经营），其可能因“名义身份”被牵连。建议明确挂名协议中的责任划分，并保留未参与经营的证据。
  
• 公司反诉风险：若公司主张执行董事是“投资者”而非劳动者，可能以“不存在劳动关系”为由抗辩。此时需重点证明“人身从属性”（如受公司管理、执行公司指令）。

总结：名义法人担任执行董事未签合同，仍可能因事实劳动关系要求公司补缴社保。关键在于证明实际用工关系，建议优先通过协商或社保投诉解决，必要时启动法律程序。如有进一步证据或细节需要分析，可随时向我咨询。