结论：公司这种做法是违法的，你可以通过与公司协商、向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。下面为你详细分析：
未签合同的问题
- 法律规定：根据《劳动合同法》第十条规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。你在公司工作半个月，虽然未超过一个月，但公司有义务在一个月内与你签订书面劳动合同。若超过一个月未签，从第二个月起公司需向你支付双倍工资。
- 维权方式：你可以先与公司沟通，要求签订书面劳动合同。如果公司拒绝，在后续维权过程中，你可以收集能证明你与公司存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资支付凭证、同事证言等，以备后续维权使用。
未购买社保的问题
- 法律规定：依据《社会保险法》第五十八条规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。公司在你工作期间未为你购买社保，违反了法律规定。
- 维权方式：你可以向当地社会保险行政部门投诉，要求公司为你补缴社保。社会保险行政部门会依法进行调查处理，责令公司限期补缴。
被辞退的问题
- 法律规定：公司以“人手够了”为由将你辞退，这种做法不符合法律规定。在试用期内，公司要解除劳动合同，需要证明你不符合录用条件，并且要向劳动者说明理由。如果公司不能提供充分证据证明你不符合录用条件，就属于违法解除劳动合同。
- 维权方式：你可以要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。根据《劳动合同法》第四十七条规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。由于公司是违法解除，赔偿金是经济补偿标准的二倍，即公司应向你支付一个月工资的赔偿金。你可以先与公司协商要求支付赔偿金，如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
具体维权步骤：
- 与公司协商：你可以先尝试与公司进行友好协商，明确指出公司的违法行为，要求公司签订合同、补缴社保并支付违法解除劳动合同的赔偿金。在协商过程中，要注意保留好相关证据，如沟通记录等。
- 向劳动监察部门投诉：如果协商无果，你可以向当地的劳动保障监察部门投诉。投诉时需要提交书面投诉材料，详细说明公司的违法行为以及你的诉求，并附上相关证据。劳动监察部门会依法进行调查处理，责令公司改正违法行为。
- 申请劳动仲裁：若对劳动监察部门的处理结果不满意，或者公司拒不执行处理决定，你可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请仲裁时，要提交仲裁申请书、相关证据等材料。仲裁委员会会依法进行审理，并作出裁决。
如果你在维权过程中遇到任何问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律指导。