当公司发现员工存在违法行为时，处理的方式需要综合考虑违法的性质、严重程度以及公司的规章制度，同时必须确保所有措施都在法律允许的框架内进行。以下是对这一问题的详细解答：
一、公司内部处理措施
纪律处分：
- 警告与批评：对于轻微的违法行为，如偶尔违反工作流程但未造成重大损失，公司可以通过口头或书面警告、批评教育的方式，提醒员工认识错误并防止再犯。
- 罚款：若公司规章制度中明确规定了罚款标准，并且该制度经过合法程序制定并公示，公司可以在法律允许的范围内对员工进行罚款。但需注意，罚款金额应合理，且扣除后的工资不得低于当地最低工资标准。
- 降职降薪：对于情节较为严重但对工作未产生毁灭性影响的违法行为，公司可以考虑降低员工的职位和薪资待遇。
教育与培训：
- 公司可以组织专项培训，帮助员工深入理解公司的规章制度和操作规程，增强其法律意识和合规意识。
- 要求员工撰写书面检讨，认识自己的错误并提出改进措施，以此作为自我反思和公司监督的依据。
二、外部法律配合与后果
协助调查：
- 若员工的违法行为涉及刑事犯罪或其他外部法律调查，公司有义务配合相关执法机关的工作，提供必要的证据、信息和工作便利。
行政处罚与刑事处罚：
- 对于违反行政法规的行为，如未按规定缴纳社保、偷税漏税等，行政机关可能会对员工进行罚款、吊销执照等行政处罚。
- 对于严重的违法行为，如盗窃、诈骗、贪污等，司法机关将依法追究员工的刑事责任，员工可能面临拘役、有期徒刑等刑罚。
三、解除劳动关系
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在员工严重违反公司规章制度、职业道德或法律法规，且给公司造成重大损失的情况下，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。这包括但不限于以下情形：
- 严重违反用人单位的规章制度；
- 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 被依法追究刑事责任。
四、要求员工承担赔偿责任
如果员工的违法行为给公司造成了经济损失，根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，员工应当依法承担赔偿责任。公司可以要求员工赔偿因其违法行为所造成的直接经济损失。
五、确保处罚程序的合法合规性
- 规章制度合法：公司规章制度的制定和公布必须符合法定程序，确保员工的知情权。
- 处罚依据充分：处罚决定应有充分的事实依据和法律依据，避免主观臆断。
- 保障员工权益：处罚过程应遵循公正、公平、公开的原则，保障员工的合法权益，如申诉权利等。
综上所述，公司在处理员工违法行为时，应综合考虑违法的性质和严重程度，采取合法、合理且有效的措施。这既维护了公司的正当权益，又确保了员工的合法权益得到尊重和保护。