结论：公司不能私自解除未签解除劳动合同且未主动离职的员工的劳动合同。公司解除劳动合同必须遵循法定情形和程序，否则将构成违法解除，需承担相应的法律责任。
一、未签劳动合同不影响劳动关系的存在
即使员工未与公司签订书面劳动合同，但只要双方存在事实劳动关系（例如通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证明），员工就享有劳动法规定的各项权益。公司不能以未签劳动合同为由，私自解除与员工的劳动关系。
二、公司合法解除劳动合同的情形
公司可以在以下法定情形下合法解除与员工的劳动合同：
- 员工过错性辞退：
- 员工严重违反公司规章制度（前提是规章制度合法合理且经过民主程序制定并向员工公示）；
- 员工严重失职给公司造成重大损害；
- 员工被依法追究刑事责任等。
在这些情况下，公司无需支付经济补偿，但需确保解除程序的合法性，如提前通知员工、听取员工申辩等。
- 经济性裁员：
- 公司因生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等，经变更劳动合同后仍需裁减人员的；
- 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。
经济性裁员需遵循严格的程序，如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、向劳动行政部门报告等，并需支付经济补偿。
三、公司违法解除劳动合同的法律责任
若公司无正当理由私自解除与员工的劳动合同，则构成违法解除，需承担以下法律责任：
支付赔偿金：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
经济补偿计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；
- 不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（若工作年限不足六个月，则月工资按半个月计算后乘以2）。
四、员工的维权途径
若员工认为公司违法解除了其劳动合同，可以采取以下维权途径：
协商与调解：
- 员工可以首先尝试与公司进行协商，寻求和解；
- 若协商不成，可以请求工会或第三方进行调解。
劳动仲裁：
- 员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金等；
- 劳动仲裁是解决劳动争议的前置程序，员工需在知道或应当知道权益被侵害之日起一年内提出申请。
诉讼：
- 若对劳动仲裁结果不服，员工可以向法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
五、建议
公司角度：
- 公司应尽快与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务；
- 在解除劳动合同时，应确保解除程序的合法性，避免违法解除带来的法律风险。
员工角度：
- 员工应保留好与公司的劳动关系证明，如工资支付记录、工作证、考勤记录等；
- 若公司违法解除劳动合同，员工应及时采取维权措施，保护自己的合法权益。
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