结论前置：
- 未签劳动合同，公司不能随意解除劳动关系。即使未签订书面劳动合同，只要劳动者实际提供了劳动，用人单位支付了工资等，双方就形成了事实上的劳动关系，这种关系同样受法律保护。
- 若公司违法解除，需承担法律责任。公司若未遵循法定程序或条件解除劳动关系，可能需支付双倍工资、经济补偿金或赔偿金。
详细分析：
一、劳动关系的存在与解除
事实劳动关系的认定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。即使没有签订书面劳动合同，只要劳动者实际提供了劳动，并且用人单位支付了工资等报酬，双方就形成了事实上的劳动关系。这种事实劳动关系同样受到法律的保护。
公司解除劳动关系的限制：
- 公司不能随意解除与劳动者的事实劳动关系。即使未签订书面劳动合同，公司也必须遵循法律规定的情形和程序来解除劳动关系。例如，公司不能因劳动者未签订书面合同而直接解除劳动关系，否则可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
二、公司可以合法解除劳动关系的情形
即便未签订书面劳动合同，但在特定情况下，公司仍可以合法解除与劳动者的劳动关系。这些情形主要包括：
试用期不符合录用条件：
- 若公司有明确的录用条件，并能举证证明劳动者在试用期内不符合这些条件，可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动关系，且无需支付经济补偿。
严重违反规章制度：
- 劳动者若多次无故旷工、在工作中严重失职给单位造成重大损害等，严重违反了公司的规章制度，公司有权解除劳动关系。
存在欺诈等致使劳动合同无效的行为：
- 若劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下与之建立劳动关系，公司可以解除劳动合同。
三、公司违法解除劳动关系的法律责任
如果公司未遵循法定程序或条件解除与劳动者的事实劳动关系，将可能承担以下法律责任：
支付双倍工资：
- 根据《劳动合同法》第八十二条的规定，公司自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
支付经济补偿金或赔偿金：
- 如果公司违法解除劳动关系，劳动者有权要求公司支付经济补偿金或赔偿金。经济补偿金的标准根据劳动者在公司的工作年限和月工资等因素确定。赔偿金则是经济补偿标准的二倍。
四、劳动者的权益保护与维权途径
若公司未与劳动者签订劳动合同且违法解除劳动关系，劳动者可以通过以下途径维护自己的合法权益：
收集证据：
- 劳动者应收集与工作相关的证据，如工作证、考勤记录、工资条、同事证言等，以证明与公司存在事实劳动关系及工作年限等情况。
申请劳动仲裁：
- 劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会提起仲裁，要求公司支付未签订劳动合同的双倍工资、违法解除劳动合同的经济赔偿金等。
提起诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，劳动者可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
建议与总结：
- 对于劳动者：若遇到公司未签劳动合同且违法解除的情况，应积极收集证据并寻求法律帮助，以维护自己的合法权益。
- 对于公司：应严格遵守法律法规，及时与劳动者签订书面劳动合同，并在解除劳动关系时遵循法定程序和条件，以避免不必要的法律风险。
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