结论：即使没有签订劳动合同，在私企上班时手扭伤，依然有可能获得赔偿。这主要取决于是否构成工伤以及用人单位的责任情况。

分析如下：

1. 工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。手扭伤如果是在工作过程中因工作原因导致的，那么应当被认定为工伤。
   • 工伤认定并不以是否签订劳动合同为前提。即使没有签订劳动合同，只要存在事实劳动关系，且符合工伤认定的条件，就可以申请工伤认定。

2. 赔偿问题：

   • 如果构成工伤：根据《工伤保险条例》及相关规定，用人单位应当为职工缴纳工伤保险费。如果用人单位未缴纳，那么职工发生工伤后，由用人单位按照工伤保险待遇项目和标准支付费用。这包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。
   • 如果未构成工伤：如果手扭伤并不符合工伤认定的条件，比如是在工作之余、非工作场所或者非工作原因导致的，那么可能无法通过工伤保险获得赔偿。但此时，如果用人单位存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等），职工仍然有可能通过民事诉讼途径要求用人单位承担相应的赔偿责任。

3. 未签劳动合同的影响：

   • 未签订劳动合同并不影响工伤的认定和赔偿。但是，为了证明存在事实劳动关系，职工可能需要提供其他证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
   • 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果未签劳动合同，职工还有权要求用人单位支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。

建议：

• 首先，尽快收集证据证明存在事实劳动关系以及手扭伤是在工作过程中因工作原因导致的。
• 其次，向用人单位提出工伤认定申请，并要求用人单位配合提供相关材料。如果用人单位不配合，职工可以自行向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
• 最后，根据工伤认定结果和用人单位的责任情况，要求用人单位支付相应的赔偿费用。如果用人单位拒绝支付或者双方无法达成一致，职工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。

后续行动：

• 在处理此类问题时，建议保持冷静，及时咨询专业律师（即我，文欣律师，专注于婚姻家庭、劳动纠纷领域），以便更好地维护自己的合法权益。
• 同时，注意保留好所有相关证据，如医疗记录、工资支付记录、工作证等，以备不时之需。